query: ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณเป็นสาขาหนึ่งของอะไร?

pos:
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ () เป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีการคำนวณ ที่มุ่งเน้นไปในการวิเคราะห์เวลาและเนื้อที่สำหรับการแก้ปัญหาหนึ่ง ๆ โดยปกติแล้วคำว่า "เวลา" ที่เราพูดถึงนั้น จะเป็นการนับจำนวนขั้นตอนที่ใช้ในการแก้ปัญหา ส่วนในเรื่องของ "เนื้อที่" เราจะพิจารณาเนื้อที่ ๆ ใช้ในการทำงานเท่านั้น (ไม่นับเนื้อที่ ๆ ใช้ในการเก็บข้อมูลป้อนเข้า). ในบางกรณีเราอาจจะสนใจการวิเคราะห์ปริมาณอื่น ๆ ที่นอกเหนือไปจากพื้นที่กับเวลา ยกตัวอย่างเช่น ในการประมวลผลแบบขนาน เราอาจจะวิเคราะห์ว่าต้องใช้หน่วยประมวลผลกี่ตัวในการแก้ปัญหาที่กำหนด. ทฤษฎีความซับซ้อนต่างจาก ทฤษฎีการคำนวณได้ ที่จะเน้นไปในการวิเคราะห์ว่าปัญหาสามารถแก้ได้หรือไม่ โดยไม่สนใจทรัพยากรที่ใช้ในการแก้ปัญหา

neg:
ขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณซึ่งเป็นการศึกษาเกี่ยวกับทรัพยากรทางการคำนวณที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหาหนึ่งๆ ได้สร้างแบบจำลองของขั้นตอนวิธีแบบสุ่มให้เป็น"เครื่องจักรทัวริงเชิงความน่าจะเป็น" ทั้งขั้นตอนวิธีลาสเวกัสและมอนติคาร์โลได้ถูกนำมาพิจารณา รวมถึง "คลาสของความซับซ้อน" หลายๆคลาสก็ได้ถูกนำมาศึกษา คลาสของความซับซ้อนแบบสุ่มแบบที่เป็นพื้นฐานที่สุดคือแบบอาร์พี ซึ่งเป็นคลาสของปัญหาการตัดสินใจที่มีขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม (หรือเครื่องจักรทัวริงเชิงความน่าจะเป็น) ที่มีประสิทธิภาพ (ทำงานได้ได้ในเวลาโพลิโนเมียล) ที่สามารถตอบว่า "ไม่" ได้ถูกต้องเสมอ และสามารถตอบว่า "ใช่" ได้ โดยมีโอกาสถูกต้องอย่างน้อย 1/2 คลาสส่วนกลับ (complement) ได้แก่โค-อาร์พี และคลาสของปัญหาซึ่งทั้งคำตอบ "ใช่" และ "ไม่" สามารถมีค่าความน่าจะเป็นได้ทั้งคู่ (นั่นคือ ไม่ได้บังคับให้ต้องตอบถูกต้องเสมอ) เรียกว่าซีพีพี (ZPP) สำหรับปัญหาซึ่ง (เชื่อกันว่า) อยู่นอกคลาสนี้ เช่นปัญหาเอ็นพีแบบยาก (ซึ่งแม้แต่ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มก็ไม่สามารถแก้ได้) จำเป็นต้องแก้ด้วยขั้นตอนวิธีการประมาณ

neg:
ตรรกศาสตร์คลุมเครือ
การดำเนินการทางตรรก เช่น AND(และ) OR(หรือ) NOT(ไม่) นั้นก็มีใช้สำหรับตรรกศาสตร์คลุมเครือ สำหรับการสร้างเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่ซับซ้อน เช่นเดียวกับตรรกศาสตร์แบบฉบับ โดยปกติแล้วจะนิยาม AND=minimum OR=maximum และ NOT=complement ซึ่งการนิยามตามแบบนี้เรียกว่า "ตัวดำเนินการซาเดห์" (Zadeh operator) เนื่องจากเป็นไปตามลักษณะนิยามที่ ซาเดห์ ใช้ในบทความดั้งเดิมของเขา ดังนั้นหากเรามีตัวแปรฟัซซี x และ y:

neg:
แคลคูลัสเวกเตอร์
แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงของของเวกเตอร์ในมิติที่สูงกว่าหรือเท่ากับสองมิติ เนื้อหาประกอบด้วยเทคนิคในการแก้ปัญหาและสูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องต่าง ๆ ซึ่งมีประโยชน์ใช้งานมากในทางวิศวกรรมและฟิสิกส์

neg:
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
เราเรียกปัญหาที่สามารถหาคำตอบได้ ในเชิงทฤษฎี แต่ไม่สามารถนำมาใช้ได้จริง ว่าเป็นปัญหาที่ยาก (intractable) โดยมากแล้วเราจะแทนความง่ายของปัญหาด้วยการที่มีขั้นตอนวิธีที่ทำงานใช้เวลาเป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของอินพุต ปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์ ถูกเชื่อว่าเป็นปัญหาที่ยาก (ที่ใช้คำว่า "เชื่อ" ก็เพราะว่าการที่ปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์จะยากหรือไม่นั้นขึ้นกับว่าพีเท่ากับเอ็นพีหรือไม่ หากว่าพีเท่ากับเอ็นพี เอ็นพีบริบูรณ์ทั้งหมดก็เป็นปัญหาที่ง่าย แต่หากไม่เท่ากัน เอ็นพีบริบูรณ์ก็เป็นตัวแทนของปัญหายากที่อยู่ภายในเอ็นพี) ส่วนปัญหาที่สามารถพีสูจน์ได้แน่นอนว่ายาก ก็คือปัญหา อีเอกซ์พีบริบูรณ์ (EXP-complete) (เนื่องมาจาก ทฤษฎีลำดับชั้นของเวลา)

neg:
แฟกทอเรียล
เนื่องจากการคำนวณ log "n"! มีประสิทธิภาพเป็น Θ("n" log "n") สิ่งนี้จึงมีบทบาทหลักในการวิเคราะห์ความซับซ้อนในการคำนวณของขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ (ดูเพิ่มที่การเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบ)

neg:
การวิเคราะห์ขั้นตอนวิธี
การวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีเป็นส่วนที่มีความสำคัญของทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณที่กว้างขึ้น ซึ่งเอื้ออำนวยสำหรับการประมาณการเชิงทฤษฎีสำหรับทรัพยากรที่จำเป็นต้องใช้โดยขั้นตอนวิธีใด ๆ สำหรับใช้ไขปัญหาที่ต้องการคำนวณ การประมาณการนี้ช่วยให้เข้าใจอย่างลึกซึ้งถึงคำสั่งที่มีเหตุผลของการค้นหาประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธี

neg:
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
สำหรับหลักการของ ความบริบูรณ์นั้น เราจะกล่าวว่าเซต X บริบูรณ์ สำหรับเซต Y เมื่อ:
เช่นเดียวกันกับเรื่องของความยาก เซตบริบูรณ์ที่สำคัญที่สุดก็คือ เซตเอ็นพีบริบูรณ์

neg:
ทฤษฎีจำนวน
ทฤษฎีจำนวน () โดยธรรมเนียมเดิมเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจำนวนเต็ม สาขานี้มีผลงานและปัญหาเปิดมากมายที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แม้กระทั่งผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ แต่ในปัจจุบัน สาขานี้ยังได้สนใจกลุ่มของปัญหาที่กว้างขึ้น ซึ่งมักเป็นปัญหาที่ต่อยอดมาจากการศึกษาจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาสาขานี้เรียกว่า นักทฤษฎีจำนวน

neg:
เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)
เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์

neg:
คณิตศาสตร์
องค์ความรู้ในคณิตศาสตร์รวมกันเป็นสาขาวิชา หลักการเบื้องต้นที่เริ่มจากเลขคณิตไปยังการประยุกต์ใช้งานพื้นฐานของสาขาคณิตศาสตร์ ที่รวมพีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติ สถิติศาสตร์ และแคลคูลัส เป็นหลักสูตรแกนในการศึกษาขั้นพื้นฐาน แม้ว่าจะได้มีการพัฒนาและขยายขอบเขตไปอย่างมากมายในช่วงเวลาหลายร้อยปี สาขาวิชาคณิตศาสตร์ยังคงถูกจัดว่าเป็นสาขาวิชาเดี่ยว ที่มีลักษณะแตกต่างจากสาขาอื่น ๆ

neg:
ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม
ปัญหาพีและเอ็นพีเป็นปัญหาสำคัญทางวิทยาการคอมพิวเตอร์และทฤษฎีการคำนวณ ซึ่งศึกษาความซับซ้อนในการคำนวณ ระหว่างกลุ่มความซับซ้อนพี (P) ซึ่งเป็นกลุ่มปัญหาที่สามารถ "ค้นหา" (search) คำตอบได้ในเวลาพหุนาม กับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี (NP) ซึ่งเป็นกลุ่มปัญหาที่สามารถ "ตรวจสอบ" (verify) คำตอบได้ในเวลาพหุนาม

neg:
กลุ่มความซับซ้อน พี และ เอ็นพี
ในทฤษฎีดังกล่าว กลุ่ม พี (P) คือประกอบไปด้วยปัญหาการตัดสินใจที่สามารถหาคำตอบได้โดยเครื่องจักรเชิงลำดับแบบกำหนด (deterministic sequential machine) ในเวลาที่เป็นพหุนามของขนาดของข้อมูลป้อนเข้า กลุ่มปัญหา เอ็นพี (NP) ประกอบไปด้วยปัญหาการตัดสินใจที่ในกรณีที่คำตอบคือ 'ใช่' สามารถตรวจสอบได้ถ้าให้ข้อมูลที่เหมาะสม หรือพูดในอีกทางหนึ่งที่เหมือนกันว่า เป็นกลุ่มของปัญหาที่สามารถหาคำตอบได้ในเวลาพหุนามบนเครื่องจักรเชิงไม่กำหนด อาจกล่าวได้ว่าปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีนั้น เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ของกลุ่มปัญหาทั้งสองนี้:
ในปี 2545 มีการสำรวจความเชื่อของนักวิจัย 100 คน 61 คนเชื่อว่าพีไม่เท่ากับเอ็นพี 9 คนเชื่อว่าเท่ากัน 22 คนตอบว่าไม่แน่ใจ ส่วนที่เหลือเชื่อว่าจะไม่สามารถหาบทพิสูจน์ได้

neg:
แคลคูลัส
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ศึกษาวิธีการหาปริพันธ์ (อินทิกรัล, Integral) ของฟังก์ชัน ซึ่งอาจนิยามจากลิมิตของผลรวมของพจน์ (ซึ่งเรียกว่าลิมิตของผลรวมรีมันน์) แต่ละพจน์นั้นคือพื้นที่ที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละแถบใต้กราฟของฟังก์ชัน ทำให้การอินทิเกรตเป็นวิธีที่ได้ผลวิธีหนึ่งในการหาพื้นที่ใต้กราฟ และพื้นที่ผิว และปริมาตรของแข็งเช่นทรงกลมและทรงกระบอก

neg:
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ปัญหาการตัดสินใจสามารถแบ่งออกได้เป็นหลายๆกลุ่ม โดยที่แต่ละกลุ่มจะประกอบไปด้วยปัญหาที่มีความยากเท่าเทียมกัน

neg:
กรุป (คณิตศาสตร์)
ภายใต้กรุปยังมีโครงสร้างเชิงพีชคณิตอีกมาก เช่นฟิลด์ และปริภูมิเวกเตอร์ กรุปยังเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการศึกษาสมมาตรในรูปแบบต่างๆ หลักการที่ว่า "สมมาตรของวัตถุใดๆก่อให้เกิดกรุป" เป็นหลักพื้นฐานของคณิตศาสตร์มากมาย ด้วยเหตุผลเหล่านี้ทฤษฎีกรุปจึงเป็นสาขาที่สำคัญในคณิตศาสตร์ยุดใหม่ และยังเป็นหนึ่งในบทประยุกต์ของ ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ อีกด้วย (ตัวอย่างเช่น ฟิสิกส์อนุภาค)

neg:
ปัญหาการตัดสินใจ
ปัญหาการตัดสินใจ () เป็นปัญหาในทฤษฎีการคำนวณได้และทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ ซึ่งพิจารณาค่าอินพุตและตอบเพียงว่า "ใช่" หรือ "ไม่ใช่" เท่านั้น เช่นปัญหาที่ถามว่าจำนวนเต็ม x เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่

neg:
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
หลายครั้งเราจะกล่าวถึงความซับซ้อนด้านเวลาว่าเป็น "เวลาที่ใช้ในการแก้ปัญหา" หรือ "เวลาที่ใช้ในการทำงาน"

neg:
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ค่อนข้างจะชัดเจนว่าเนื้อที่ที่ใช้ในการแก้ปัญหา FACTORIZE จะไม่มากไปกว่าเนื้อที่ที่ใช้ในการแก้ปัญหา HAS-FACTOR นัก (สำหรับค่า formula_7 แต่ละค่าเราสามารถคืนหน่วยความจำที่ใช้ในการทำงานของค่า formula_7 ก่อนหน้าได้) สำหรับเวลาที่ใช้ก็เช่นกัน ในการหาตัวประกอบแต่ละตัวเราจะเรียกใช้ HAS-FACTOR ไม่เกิน formula_15 ครั้ง และจำนวนของตัวประกอบเฉพาะของ formula_1 ที่เป็นไปได้ก็ไม่เกิน formula_15 จำนวน

neg:
แคลคูลัสแลมบ์ดา
แคลคูลัสแลมบ์ดา (หรือ λ-calculus) เป็นระบบรูปนัยในคณิตตรรกศาสตร์ที่ใช้ในการคำนวณ พื้นฐานของระบบประกอบไปด้วยการสร้างฟังก์ชันและการเรียกใช้ฟังก์ชันโดยใช้การโยงของตัวแปรและการแทนที่ตัวแปร นักคณิตศาสตร์อลอนโซ เชิร์ชได้คิดค้นแคลคูลัสแลมบ์ดาขึ้นมาในช่วงปี 1930 เพื่อสำรวจหารากฐานของคณิตศาสตร์ แคลคูลัสแลมบ์ดาเป็นแบบจำลองสากลในการคำนวณเทียบเท่ากับเครื่องจักรทัวริง (ความเท่าเทียมกันของาองระบบทั้งสองรู้จักได้รับการพิสูจน์ในแนวคิดหลักของเชิร์ช–ทัวริงในปี 1937) คำว่า "แลมบ์ดา" ซึ่งเป็นอักขระกรีก (λ) ปรากฏในพจน์แลมบ์ดา (หรืออาจจะเรียกว่านิพจน์แลมบ์ดา) ซึ่งใช้ในการแสดงถึงการโยงตัวแปรในฟังก์ชัน

neg:
ทฤษฎีการคำนวณ
ตารางด้านล่างแสดงกลุ่มของปัญหา (หรือภาษา หรือไวยากรณ์) ที่พิจารณาในทฤษฎีการคำนวณได้. ถ้ากลุ่ม X เป็นซับเซ็ตแท้ของ Y เราจะแสดง X ด้านล่าง Y และมีเส้นทึบเชื่อมระหว่างสองกลุ่ม. ถ้า X เป็นซับเซ็ตแต่ไม่ทราบแน่นอนว่าจะเท่ากันหรือไม่ เราจะเชื่อมด้วยเส้นที่บางกว่าและเป็นเส้นประ.

neg:
การพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยคอมพิวเตอร์
แนวคิดของวิธีการนี้ คือการให้คอมพิวเตอร์รับหน้าที่ทำการคำนวณอันยืดยาว โดยใช้เทคนิคเลขคณิตเชิงช่วงในการควบคุม ไม่ให้มีความผิดพลาดมากเกินไป นั่นคือ เราสามารถมองการคำนวณที่ซับซ้อน เป็นลำดับของการคำนวณพื้นฐาน (เช่น +, -, *, /) ผลที่ได้จากการคำนวณพื้นฐานแต่ละขั้นนี้ เป็นผลโดยประมาณเนื่องจากคอมพิวเตอร์มีความแม่นยำจำกัด อย่างไรก็ตาม เราสามารถสร้างช่วงของคำตอบที่ถูกต้องได้จากผลโดยประมาณนี้ จากนั้นเราสามารถดำเนินการขั้นตอนต่อๆไป โดยการทำการคำนวณระหว่างช่วงของตัวเลขแต่ละตัวที่ได้มา

neg:
วิศวกรรมเครื่องกล
กลศาสตร์ คือการศึกษาแรงและผลกระทบของมันบนวัตถุ สำหรับกลศาสตร์วิศวกรรมแล้ว กลศาสตร์ถูกใช้เพื่อการวิเคราะห์และคำนวณความเร่งและการเปลี่ยนรูป (ทั้งบนวัสดุอีลาสติก และพลาสติก) บนวัสดุที่ทราบแรงที่เข้ากระทำ (หรือที่เรียกว่าภาระ) หรือทราบความเค้น สาขาย่อยของกลศาสตร์มีดังนี้
วิศวกรเครื่องกลมักจะใช้กลศาสตร์ในขั้นตอนการออบแบบและวิเคราะห์ ตัวอย่างเช่นในการออกแบบรถยนต์ สถิตยศาสตร์อาจจะถูกใช้ในการออกแบบโครงรถเพื่อหาว่าบริเวณใดท่ได้รับความเครียดสูงที่สุด พลศาสตร์อาจจะถูกใช้ในการออกแบบเครื่องยนต์เช่นคำนวณแรงในลูกสูบ ความแข็งแรงของวัสดุจะถูกใช้เพื่อการเลือกวัสดุที่มีความเหมาะสม ส่วนกลศาสตร์ของไหลอาจจะถูกใช้เพื่อการวิเคราะห์ระบบระบาบอากาศ หรือระบบดูดอากาศเข้าเครื่องยนต์

neg:
เคมีการคำนวณ
เคมีการคำนวณ () เป็นสาขาหนึ่งของเคมีทฤษฎี (theoretical chemistry) มีความคาบเกี่ยวกันระหว่างวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ (computer science) วิชาเคมี (chemistry) วิชาฟิสิกส์ และวิชาคณิตศาสตร์วัตถุประสงค์หลักก็คือการใช้แนวคิดทางทฤษฎีที่พิสูจน์ได้ทางฟิสิกส์และเคมีมาออกแบบหรือสร้างระบบจำลองที่มีประสิทธิภาพ ยกตัวอย่างเช่น ระบบจำลองของแข็ง ระบบจำลองดีเอ็นเอ ระบบจำลองโปรตีน เป็น้ตน ซึ่งในการประมาณการ (approximation) ทางคณิตศาสตร์จะใช้โปรแกรมการคำนวณ (computer program) มาคำนวณ เนื่องจากมีความซับซ้อนและความยุ่งยากทางคณิตศาสตร์มากเกินกว่าที่มนุษย์จะกระทำได้ ซึ่งคอมพิวเตอร์สมรรถนะสูงนี้เองที่เป็นเครื่องมือที่ช่วยให้นักเคมีคำนวณลดระยะเวลาในการ simulation ลงอย่างมากอีกด้วย สำหรับสิ่งที่ต้องการจะศึกษาก็มีปลายรูปแบบแตกต่างกันไป ขึ้นกับระบบนั้น ๆ โดยส่วนมากจะใช้คำนวณหรือศึกษาคุณสมบัติของโมเลกุล (molecule) เช่น

neg:
การแบ่งกลุ่มข้อมูลแบบเคมีน
เมื่อกล่าวถึงความซับซ้อนเชิงคำนวณ (computational complexity) การหาคำตอบที่เหมาะสม ในการแบ่งข้อมูลแบบเคมีนสำหรับข้อมูลการสังเกต ใน "d" มิติ จะเป็น
ดังนั้น ประเภทของขั้นตอนวิธีแบบศึกษาสำนึก เช่น ขั้นตอนวิธีของ Lloyds จึงถูกใช้อย่างแพร่หลาย
เวลาที่ใช้ในการทำงานของขั้นตอนวิธีของ Lloyds จะอยู่ในรูป formula_7 โดยที่ค่า "n" เป็นจำนวนของเวกเตอร์ข้อมูล ใน "d" มิติ ค่า "k" เป็นจำนวนของคลัสเตอร์ และค่า "i" เป็นจำนวนของการวนซ้ำจนกระทั่งผลลัพธ์ลู่เข้าและไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับข้อมูลที่มีโครงสร้างเป็นกลุ่มก้อน การวนซ้ำในจำนวนรอบน้อยๆก็มักจะเห็นการลู่เข้า และผลลัพธ์จะดีขึ้นเพียงเล็กน้อยเท่านั้นหลังจากการวนซ้ำสิบกว่าครั้ง ดังนั้นขั้นตอนวีธีของ Lloyds ในทางปฏิบัติจะระบุว่ามีความซับซ้อนแบบเชิงเส้น

neg:
วิศวกรรมเครื่องกล
วิศวกรรมเครื่องกล () เป็นวิชาเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์และกฎทางฟิสิกส์เพื่อการประดิษฐ์ การผลิต และการดูแลรักษาระบบเชิงกล วิศวกรรมเครื่องกลเป็นหนึ่งในสาขาทางวิศวกรรมที่เก่าแก่ที่สุดและมีขอบข่ายกว้างขวางที่สุด

neg:
ทฤษฎีการคำนวณได้
ทฤษฎีการคำนวณได้ คือส่วนหนึ่งของการศึกษาในทฤษฎีการคำนวณที่สนใจกับปัญหาที่ว่า ปัญหาใดที่สามารถหาคำตอบได้ด้วยขั้นตอนวิธี (หรือ—ในความหมายที่เหมือนกัน—โดยเครื่องจักรทัวริง) ภายใต้ข้อจำกัดและข้อเพิ่มเติมหลายๆ แบบ ทฤษฎีการคำนวณได้ศึกษาปัญหาหลักๆ สี่ปัญหาดังต่อไปนี้

neg:
เอ็นพี (ความซับซ้อน)
ในทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ กลุ่มปัญหา เอ็นพี (NP: Non-deterministic Polynomial time) สามารถนิยามได้สองวิธี ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากนักว่านิยามทั้งสองแบบนี้สมมูลกันคำว่า "ตรวจคำตอบ" ในที่นี้มีความหมายค่อนข้างจะคลุมเครือ ซึ่งรายละเอียดในส่วนนี้จะถูกอธิบายในไม่ช้า

neg:
การเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน
การเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันมีรากฐานมาจากแคลคูลัสแลมบ์ดาซึ่งเป็นระบบรูปนัยที่พัฒนาในคริสต์ทศวรรษ 1930 เพื่อค้นEntscheidungsproblem นิยามของฟังก์ชัน การประยุกต์ฟังก์ชัน และการเรียกซ้ำ ภาษาการใส่รายละเอียดเพิ่มจากแคลคูลัสแลมบ์ดา กระบวนทัศน์การเขียนโปรแกรมเชิงประกาศที่เป็นที่รู้จักอื่น ๆ "การเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะ" มีพื้นฐานอยู่บนความสัมพันธ์เชิงตรรกะ

neg:
เศรษฐมิติ
เศรษฐมิติ () เป็นสาขาหนึ่งของเศรษฐศาสตร์ โดยมีการนำ ทฤษฏีทางเศรษฐศาสตร์ สถิติศาสตร์ แคลคูลัส เทคโนโลยีและเทคโนโลยีสารสนเทศ. (ใช้สำหรับการเขียนโปรแกรม) มาประยุกต์ใช้เข้ากับข้อมูลทางเศรษฐกิจในการตอบปัญหาทางเศรษฐศาสตร์ เศรษฐมิติเป็นการวิเคราะห์เชิงปริมาณกับปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจจริงที่ตั้งอยู่พื้นฐานทฤษฎีทางเศรษฐศาสตร์ เศรษฐมิติถูกจัดเป็นสาขาหนึ่งของเศรษฐศาสตร์ซึ่งมีจุดมุ่งหมายที่จะสร้างเนื้อหาที่เป็นหลักฐานเชิงประสบการณ์เกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงเศรษฐศาสตร์ การประยุกต์ใช้เครื่องมือทางเศรษฐมิติได้แก่ การประเมินและพัฒนาทฤษฎีทางเศรษฐศาสตร์ การประเมินผลหรือคาดการณ์ผลกระทบของโครงการภาครัฐ การพยากรณ์ทางเศรษฐกิจ

neg:
ทฤษฎีจำนวน
ปัญหาบางอย่างในสาขานี้ดูแล้วเหมือนกับว่าจะง่าย แต่แท้จริงแล้วต้องใช้ความเข้าใจอย่างมากในการแก้ปัญหา เช่น

neg:
คาร์ล ฟรีดริช เกาส์
วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเกาส์เป็นอีกหนึ่งความก้าวหน้าอันยิ่งใหญ่ในวงการคณิตศาสตร์สมัยนั้น เมื่อเกาส์เป็นผู้แรกที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต (fundamental theorem of algebra) ซึ่งกล่าวคร่าวๆ ว่าทุกสมการพหุนามอันดับใดๆ จะมีคำตอบอยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้วงการคณิตศาสตร์เข้าใจว่าจำนวนเชิงซ้อนมีบทบาทสำคัญมากเพียงใด และยังเป็นทฤษฎีบทที่นักคณิตศาสตร์เช่น ดาลองแบร์, ออยเลอร์, ลากรองช์ หรือ ลาปลาส ต่างได้เคยพยายามพิสูจน์แล้ว ยิ่งไปกว่านั้นในช่วงชีวิตของเกาส์ เขาได้ให้บทพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ถึง 4 รูปแบบที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง ซึ่งทำให้เกิดความเข้าใจในคุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อนมากขึ้นเรื่อย ๆ

neg:
ทฤษฎีการคำนวณ
นอกจากโมเดลในการคำนวณทั่วไปแล้ว ยังมีรูปแบบในการคำนวณอื่นๆ ที่ง่ายกว่านั้น เช่น โมเดลของนิพจน์ปรกติ ที่เป็นวิธีที่ใช้กำหนดรูปแบบของสตริงในยูนิกซ์ และในบางภาษาคอมพิวเตอร์ เช่น ภาษาเพิร์ล โดยมีโมเดล เช่น เครื่องจักรสถานะจำกัดที่มีความสามารถเทียบเท่ากัน โมเดลที่มีความสามารถกว่าโมเดลนิพจน์ regular เช่น โมเดลที่อธิบายการคำนวณผ่านทางไวยากรณ์ที่ไม่ขึ้นกับสภาพรอบข้าง () ใช้สำหรับระบุไวยากรณ์ของภาษาโปรแกรม โดยที่มีเครื่องจักรกดลง () เป็นอีกรูปแบบที่เทียบเท่ากัน ฟังก์ชันเวียนบังเกิดพื้นฐานก็เป็นโมเดลย่อยของฟังก์ชันเวียนบังเกิด

neg:
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
คำถามใดๆ คำถามหนึ่งจะถูกเรียกว่า "ตัวอย่างปัญหา" (instance) ในกรณีนี้ เราจะเรียก "จงหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของ 15" ว่าเป็นตัวอย่างปัญหาของปัญหาแยกตัวประกอบ

neg:
ทฤษฎีกราฟ
ทฤษฎีกราฟ () เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ที่ศึกษาถึงคุณสมบัติต่าง ๆ ของกราฟ

neg:
เซลล์ประสาท
โดยประวัติแล้ว เชื่อว่า นิวรอนเป็นชิ้นส่วนที่ไม่ซับซ้อนและสมรรถภาพในการคำนวณของสมองมาจากการมีนิวรอนเป็นจำนวนมาก
และจริง ๆ แล้ว งานศึกษาในเรื่อง[[ปัญญาประดิษฐ์]]ได้ดำเนินไปตามแนวทางนี้
แต่ปัจจุบันนี้ชัดเจนแล้วว่า นิวรอนเดี่ยว ๆ สามารถทำการคำนวณที่ซับซ้อน[[หมวดหมู่:เซลล์ประสาท]]
[[หมวดหมู่:เซลล์]]
[[หมวดหมู่:ระบบประสาท]]
[[หมวดหมู่:คำศัพท์แพทย์]]
[[หมวดหมู่:ประสาทวิทยา]]

neg:
เอ็นพี (ความซับซ้อน)
เริ่มจากปัญหาที่เข้าใจได้ง่าย พิจารณาปัญหา "จำนวน x เป็นจำนวนประกอบหรือไม่?" ปัญหานี้จะตอบว่า "ใช่" ถ้าจำนวนที่กำหนดให้เป็นจำนวนประกอบ สำหรับปัญหานี้เราสามารถออกแบบเครื่องจักรทัวริงเชิงไม่กำหนดให้ทำงานดังต่อไปนี้

neg:
พี (ความซับซ้อน)
พี เป็นกลุ่มความซับซ้อนที่นักวิจัยเรียกว่า "ง่าย" แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วปัญหาที่ใช้เวลาในการหาคำตอบ formula_1 ไม่น่าจะถือว่าง่ายก็ตาม

neg:
พีชคณิตเชิงเส้น
การประยุกต์ใช้อย่างหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นคือการแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปร กรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อมีจำนวนที่ไม่ทราบค่า (ตัวแปร) เท่ากับจำนวนของสมการ ดังนั้นเราสามารถแก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้น "n" สมการ สำหรับจำนวนที่ไม่ทราบค่า "n" ตัว
ประวัติของ พีชคณิตเชิงเส้นสมัยใหม่ เริ่มต้นในช่วงยุคปี ค.ศ. 1840 โดยในปี ค.ศ. 1843 วิลเลียม โรวาล ฮามิลทัน (William Rowan Hamilton) ได้เสนอแนวคิดเรื่อง ควาเทอร์เนียน (quaternion) เพื่อใช้ในการอธิบายกลศาสตร์ในปริภูมิสามมิติ ต่อมาในปี ค.ศ. 1844 เฮอร์มาน กราสมาน (Hermann Grassmann) ได้ตีพิมพ์หนังสือของเขาในชื่อ "Die lineale Ausdehnungslehre" หลังจากนั้นในปี ค.ศ. 1857 อาเทอร์ เคลเลย์ (Arthur Cayley) ก็ได้เสนอแนวคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์ ซึ่งเป็นหนึ่งในพื้นฐานสำคัญของแนวความคิดเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้น แม้แนวความคิดเหล่านี้จะถูกนำเสนอตั้งแต่ในช่วงเวลานั้น แต่การพัฒนาพีชคณิตเชิงเส้นอย่างจริงจังนั้นเริ่มต้นในช่วงหลังปี ค.ศ. 1900 และกลายเป็นหัวข้อที่ได้รับการสนใจจากกลุ่มนักคณิตศาสตร์นานาชาติ จนกลายเป็นสมาคม ควาเทอร์เนียน โซไซตี (Quanternion Society (ค.ศ. 1899-1913)) ซึ่งถือเป็น สมาคมคณิตศาสตร์นานาชาติ กลุ่มแรก ๆ โดยสนใจศึกษาแนวความคิดในเรื่อง "allied systems of mathematics".

neg:
เศรษฐศาสตร์
ทฤษฎีอุปสงค์และอุปทานเป็นหนึ่งในทฤษฎีการวิเคราะห์ข้างต้น นอกจากนี้ เศรษฐศาสตร์จุลภาคยังวิเคราะห์ถึงโครงสร้างของตลาด เช่น ตลาดแข่งขันสมบูรณ์และตลาดผูกขาด เพื่อทราบถึงพฤติกรรมและประสิทธิภาพของระบบเศรษฐกิจ การวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงในตลาดหนึ่ง ๆ มักเริ่มต้นจากสมมติฐานให้ตลาดอื่น ๆ ไม่มีการเปลี่ยนแปลง ทั้งนี้เพื่อง่ายต่อความเข้าใจ ดังนี้ เรียกว่าการวิเคราะห์ดุลยภาพบางส่วน (partial-equilibrium analysis) ขณะที่ทฤษฎีดุลยภาพทั่วไปจะอนุญาตให้มีการเปลี่ยนแปลงในตลาดอื่น ๆ และใช้วิธีคำนวณปริมาณโดยรวมในทุกตลาด รวมไปถึงความเคลื่อนไหวของปริมาณดังกล่าวและปฏิสัมพันธ์เพื่อเข้าสู่จุดดุลยภาพ

neg:
แคลคูลัส
ทั้งสองแนวคิดที่กำเนิดจากปัญหาที่ต่างกันกลับมีความสัมพันธ์กันลึกซึ้ง โดยทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า แท้จริงแล้วทฤษฎีทั้งสองเปรียบเสมือนเป็นด้านทั้งสองของเหรียญอันเดียวกัน นั่นคือเป็นสิ่งเดียวกันเพียงแต่มองคนละมุมเท่านั้น (โดยคร่าว ๆ เรากล่าวได้ว่าอนุพันธ์และปริพันธ์เป็นฟังก์ชันผกผันของกันและกัน). ในการสอนแคลคูลัสเพื่อความเข้าใจตัวทฤษฎีอย่างลึกซึ้ง ควรกล่าวถึงทั้งสองทฤษฎีและความสัมพันธ์นี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อนเพียงอย่างเดียว เนื่องจากนำไปใช้งานได้ง่ายกว่า

neg:
เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์
รัสเซลมีความคิดว่าคณิตศาสตร์เป็นวิชาสืบเนื่องจากตรรกวิทยา เพราะฉะนั้น ต้องอาศัยความรู้เบื้องต้นของตรรกวิทยาเอาไปคิดต่อเป็นจำนวนเลข

neg:
การลดรูป (ความซับซ้อน)
การลดรูปที่กล่าวมาทั้งหมดเป็นการลดรูปจากปัญหาหนึ่งไปอีกปัญหาหนึ่ง นอกจากนี้ยังมีการลดรูประหว่างปัญหาเดียวกันที่เรียกว่า การลดรูปตัวเอง (Self-reduction) และการลดรูปตัวเองแบบสุ่ม (Random self-reduction) ซึ่งมีประโยชน์อย่างมากในการศึกษาทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณเช่นกัน

neg:
การเรียนรู้เชิงลึก
การเรียนรู้เชิงลึก () เป็นสาขาของการเรียนรู้ของเครื่อง พื้นฐานของการเรียนรู้เชิงลึกคือ อัลกอริทึมที่พยายามจะสร้างแบบจำลองเพื่อแทนความหมายของข้อมูลในระดับสูงโดยการสร้างสถาปัตยกรรมข้อมูลขึ้นมาที่ประกอบไปด้วยโครงสร้างย่อยๆหลายอัน และแต่ละอันนั้นได้มาจากการแปลงที่ไม่เป็นเชิงเส้น

neg:
เอ็นพีบริบูรณ์
ในทางทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ เอ็นพีบริบูรณ์ () เป็นกลุ่มความซับซ้อนที่ยากที่สุดในเอ็นพี กล่าวคือปัญหาใด ๆ ในกลุ่มปัญหา "เอ็นพี" สามารถลดรูป (Reduce) มาเป็นปัญหาใน เอ็นพีบริบูรณ์ ได้ แม้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์แต่เชื่อกันว่าเป็นกลุ่มปัญหาที่ไม่น่าจะมีขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพใช้แก้ไขได้ ปัญหาในกลุ่มเอ็นพีบริบูรณ์สามารถเปลี่ยนแปลงไปมาเป็นปัญหาอื่นในกลุ่มเดียวกันได้ด้วย polynomial time ดังนั้นการที่มีขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาใดปัญหาหนึ่งในเอ็นพีบริบูรณ์ ส่งผลให้เราสามารถแก้ปัญหาทั้งหมดในกลุ่มเอ็นพีได้อย่างมีประสิทธิภาพ กลุ่มความซับซ้อนเอ็นพีบริบูรณ์ในบางครั้งถูกเรียกสั้น ๆ ว่า NP-C

neg:
ทฤษฎีการคำนวณ
ทฤษฎีการคำนวณศึกษาโมเดลการคำนวณ พร้อมๆกับขีดจำกัดของการคำนวณ เช่น ปัญหาใดที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่สามารถแก้ได้ด้วยคอมพิวเตอร์? (ดู ปัญหาการยุติการทำงาน หรือ ปัญหาความสัมพันธ์ของโพสต์) ปัญหาใดบ้างที่สามารถแก้ไขได้ด้วยคอมพิวเตอร์ แต่ต้องการเวลามหาศาลจนทำให้การหาคำตอบนั้นเป็นไปไม่ได้ (ดู ) การหาคำตอบยากกว่าการตรวจคำตอบของปัญหาหรือไม่ (ดู กลุ่มความซับซ้อน พี และ เอ็นพี) ศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเวลาและเนื้อที่ที่ต้องการสำหรับปัญหาต่างๆ คือ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ

neg:
เศรษฐศาสตร์
เศรษฐศาสตร์จะให้ความสนใจกับตัวแปรที่สามารถวัดค่าได้เท่านั้น โดยสาขาของวิชาเศรษฐศาสตร์จะถูกจำแนกออกตามเนื้อหาเป็นสองสาขาใหญ่ ๆ คือ

neg:
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจำไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใด ๆ จากโลกภายนอก นักคณิตศาสตร์กำหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภท สำหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ, เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทำให้สามารถอธิบายสาขาย่อย ๆ หลาย ๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคำนวณพื้นฐาน

neg:
วิทยาการคอมพิวเตอร์
วิทยาการคำนวณ (Computational Science) เป็นศาสตร์ด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ผสมผสานกับการนำคณิตศาสตร์ไปใช้จำลองและแก้ปัญหาอย่างมีประสิทธิภาพ การคำนวณที่แม่นยำและรวดเร็วทำให้สามารถนำผลลัพธ์ไปใช้ประโยชน์ได้ทันการในการพัฒนาเศรษฐกิจ สังคม และสิ่งแวดล้อมที่ต้องการเทคโนโลยีขั้นสูง

neg:
สัจพจน์ของความน่าจะเป็น
นักคณิตศาสตร์หลายท่านมอง "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" เป็นสาขาย่อยของทฤษฎีการวัด (measure theory). นั่นคือ มอง ความน่าจะเป็น เป็นปริมาณ (แบบนามธรรม) ชนิดหนึ่งที่สามารถวัดได้ในบริบทของทฤษฎีการวัด. ข้อดีของการใช้ทฤษฎีการวัดในการอธิบายทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ เรามีทฤษฎีการวัดทั้งในเซตจำกัดและเซตอนันต์. ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงสามารถขยายทฤษฎีความน่าจะเป็นให้กว้างขึ้น ครอบคลุมไปถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นเซตอนันต์ได้ทันที โดยอ้างอิงจากทฤษฎีบทที่มีอยู่แล้วในทฤษฎีการวัด.

neg:
คณิตศาสตร์ประกันภัย
"คณิตศาสตร์ประกันภัย (actuarial science)" เป็นสาขาวิชาที่เกี่ยวเนื่องกับวิชาต่างๆหลายด้าน เช่น คณิตศาสตร์ (mathematics), ทฤษฎีความน่าจะเป็น (probability), สถิติศาสตร์ (statistics), การเงิน (finance), เศรษฐศาสตร์ (economics), เศรษฐศาสตร์การเงิน (financial economics), และการโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (computer programming) เป็นต้น มหาวิทยาลัยในประเทศไทยมีเปิดหลักสูตรนี้น้อยมากเนื่องจากต้องศึกษาวิชาในหลายๆด้าน แต่ปัจจุบันสาขาวิชานี้กำลังเป็นที่นิยมและต้องการ ของตลาดทั้งในและต่างประเทศ

neg:
การคำนวณ
การคำนวณ หรือ การคณนา สามารถนิยามได้ว่าเป็นการหาคำตอบของปัญหาจากข้อมูลป้อนเข้าโดยการใช้ขั้นตอนวิธี ศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเรื่องนี้คือ "ทฤษฎีการคำนวณ" ซึ่งเป็นสาขาย่อยของวิทยาการคอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์ เป็นเวลากว่าพันปีที่การคำนวณนั้นกระทำด้วยปากกาและกระดาษ หรือชอล์กและกระดานชนวน หรือด้วยการใช้สมอง โดยบางครั้งมีการใช้ตารางประกอบด้วย

neg:
พี (ความซับซ้อน)
พี ประกอบด้วย ปัญหาที่สำคัญหลายอย่างที่มีประโยชน์ในชีวิต เช่น ปัญหาการหาตัวหารร่วมมากระหว่างจำนวนสองจำนวน ปัญหาการจับคู่มากที่สุด (Maximum Matching) ปัญหาจำนวนเฉพาะ ปัญหากำหนดการเชิงเส้น (Linear program)

neg:
เอ็นพี (ความซับซ้อน)
ลองมาดูตัวอย่างเดียวกันแต่ใช้นิยามของเอ็นพีแบบที่สองในการพิสูจน์ดูบ้าง เริ่มจากปัญหาจำนวนประกอบก่อน เราสามารถออกแบบ V ได้ดังนี้

neg:
แคลคูลัส
แคลคูลัส เป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์ และสังคมศาสตร์ แคลคูลัสมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลัก ดังนี้

neg:
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
แนวคิดของ ฟังก์ชัน ที่เป็นกฎในการคำนวณ แทนที่เป็นความสัมพันธ์ชนิดพิเศษนั้น อยู่ในคณิตตรรกศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ด้วยหลายระบบ รวมไปถึง แคลคูลัสแลมบ์ดา ทฤษฎีฟังก์ชันเวียนเกิด และเครื่องจักรทัวริง

neg:
ทฤษฎีการคำนวณได้
ตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มของปัญหา สามารถดูได้ในบทความเกี่ยวกับทฤษฎีการคำนวณ

neg:
วิศวกรรมคอมพิวเตอร์
วิทยาศาสตร์และวิศวกรรมทางการคำนวณเป็นสาขาวิชาที่ค่อนข้างใหม่ สอดคล้องกับศูนย์ Sloan Career Cornerstone, บุคคลที่ทำงานในพื้นที่นี้ "วิธีการคำนวณจะถูกนำไปใช้ในการกำหนดรูปแบบและการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนด้านวิศวกรรมและด้านฟิสิกข์และสังคมศาสตร์ . ตัวอย่าง รวมถึงการออกแบบอากาศยาน, การประมวลผลแบบพลาสม่าของคุณสมบัตินาโนเมตร บนเวเฟอร์เซมิคอนดักเตอร์, การออกแบบวงจร VLSI, ระบบตรวจจับเรดาร์, การขนส่งไอออนผ่านช่องทางชีวภาพและอื่น ๆ อีกมาก"

neg:
แคลคูลัส
แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เป็นทฤษฎีที่ได้แรงบันดาลใจจากการคำนวณหาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปทรงทางเรขาคณิตต่าง ๆ. ทฤษฎีนี้ใช้กราฟของฟังก์ชันแทนรูปทรงทางเรขาคณิต และใช้ทฤษฎีปริพันธ์ (หรืออินทิเกรต) เป็นหลักในการคำนวณหาพื้นที่และปริมาตร

neg:
แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน
เมื่อปี ค.ศ. 1844 กรัสมันตีพิมพ์ผลงานชิ้นเอกของเขาคือ "ทฤษฎีส่วนขยายเชิงเส้น คณิตศาสตร์สาขาใหม่" () [The Theory of Linear Extension] ตั้งชื่อว่า A1 และเป็นที่รู้โดยทั่วไปว่าหมายถึง "Ausdehnungslehre," ซึ่งแปลว่า "ทฤษฎีส่วนขยายเชิงปริมาณ" เนื่องจาก A1 เสนอรากฐานใหม่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ งานนี้จึงเริ่มต้นด้วยคำนิยามทั่วไปของธรรมชาติเชิงปรัชญา แล้วกรัสมันก็ได้แสดงว่า เมื่อใส่เรขาคณิตลงไปในพีชคณิต ตัวเลขสามไม่ได้มีบทบาทพิเศษอะไรในฐานะตัวเลขของมิติแห่งปริภูมิ ในความเป็นจริงแล้วตัวเลขที่เป็นไปได้ของมิตินั้นไม่จำกัด

neg:
ปัญหาการปกคลุมเซต
ปัญหาการปกคลุมเซต () เป็นปัญหาในทฤษฎีความซับซ้อน วิทยาการคอมพิวเตอร์ และคณิตศาสตร์เชิงการจัด และได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์ในพ.ศ. 2515

neg:
กรุป (คณิตศาสตร์)
หลายสิ่งที่ศึกษากันในคณิตศาสตร์เป็นกรุป รวมไปถึงระบบจำนวนที่คุ้นเคย เช่น จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ภายใต้การบวก เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ ภายใต้การคูณ ตัวอย่างที่สำคัญอีกตัวอย่างหนึ่งคือ เมทริกซ์ไม่เอกฐาน ภายใต้การคูณ และฟังก์ชันที่หาฟังก์ชันผกผันได้ ภายใต้ การประกอบฟังก์ชัน ทฤษฎีกรุปรองรับคุณสมบัติของระบบเหล่านี้และระบบอื่นๆอีกมากมายในรูปแบบทั่วไป ผลลัพธ์ยังสามารถประยุกต์ได้หลากหลาย ทฤษฎีกรุปยังเต็มไปด้วยทฤษฎีบทในตัวมันเองอีกมากเช่นกัน

neg:
วารสารศาสตร์เชิงคำนวณ
วารสารศาสตร์เชิงคำนวณ สามารถนิยามได้ว่าเป็นการประยุกต์ใช้คอมพิวเตอร์เพื่อกิจกรรมทางวารสารศาสตร์ เช่น การรวบรวมข้อมูล การจัดระเบียบข้อมูล การทำความเข้าใจข้อมูล การสื่อสารและแพร่กระจายข้อมูลข่าวสาร โดยรักษาคุณค่าของวารสารศาสตร์ เช่น ความเป็นธรรม ความแม่นยำ และภววิสัย สาขาดังกล่าวได้ดึงเอาแง่มุมเทคนิคต่าง ๆ จากวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ซึ่งรวมถึงปัญญาประดิษฐ์, การวิเคราะห์เนื้อหา (การประมวลผลภาษาธรรมชาติ, คอมพิวเตอร์วิทัศน์, การได้ยิน), การสร้างภาพ, การทำให้เป็นลักษณะส่วนบุคคล, และระบบแนะนำ รวมไปถึงแง่มุมจากการใช้คอมพิวเตอร์เชิงสังคมและสารสนเทศศาสตร์

neg:
ความลำบากใจของนักโทษ
ความลำบากใจของนักโทษ () เป็นปัญหาพื้นฐานในทฤษฎีเกมซึ่งแสดงให้เห็นว่าเหตุใดคนสองคนจึงอาจไม่ร่วมมือกันแม้ว่าทั้งสองจะได้รับผลประโยชน์มากที่สุดในการร่วมมือกันนั้น เดิมปัญหาดังกล่าวคิดขึ้นโดยเมอร์ริลล์ ฟลัด และเมลวิน เดรชเชอร์ ซึ่งกำลังทำงานอยู่ที่ RAND ในปี ค.ศ. 1950 อัลเบิร์ต ดับเบิลยู. ทักเกอร์ทำให้เกมดังกล่าวเป็นระเบียบแบบแผนด้วยการกำหนดโทษจำคุกและให้ชื่อว่า "ความลำบากใจของนักโทษ"

neg:
การแปลงเชิงปริพันธ์
การแปลงเชิงปริพันธ์ ใช้หลักการของการแยกองค์ประกอบสเปกตรัม () ตาม ฐานเชิงตั้งฉากปรกติ (หรือ หมายความง่าย ๆ ว่า เราสามารถเขียนฟังก์ชันที่ซับซ้อน ให้อยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนน้อยกว่านั่นเอง

neg:
การลดรูป (ความซับซ้อน)
พิจารณาตัวอย่าง ...

neg:
พี (ความซับซ้อน)
ในเชิงของ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ พี เป็นกลุ่มความซับซ้อนที่ประกอบด้วยปัญหาการตัดสินใจที่สามารถหาคำตอบได้ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของอินพุต (polynomial time)

neg:
คณิตศาสตร์เชิงการจัด
คณิตศาสตร์เชิงการจัด () คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ที่ศึกษากลุ่มของวัตถุจำนวนจำกัดที่มีคุณสมบัติสอดคล้องกับเงื่อนไขบางประการ และมักสนใจเป็นพิเศษที่จะ "นับ" จำนวนวัตถุในกลุ่มนั้น ๆ ("ปัญหาการแจกแจง") หรืออาจหาคำตอบว่า วัตถุที่มีคุณสมบัติที่ต้องการนั้นมีอยู่หรือไม่ ("ปัญหาสุดขอบ") การศึกษาเกี่ยวกับการนับวัตถุ บางครั้งถูกจัดให้อยู่ในสาขาการแจกแจงแทน

neg:
นักคณิตศาสตร์ประกันภัย
ความสามารถของนักคณิตศาสตร์ประกันภัย (Actuary-แอคชัวรี) ที่กล่าวมาได้กลายเป็นสิ่งที่จำเป็นยิ่งยวดสำหรับธุรกิจประกันชีวิตและประกันวินาศภัย โดยใช้พื้นฐานของหลักการทางคณิตศาสตร์ สถิติประยุกต์ เศรษฐศาสตร์มหภาค เศรษฐศาสตร์จุลภาค ทฤษฎีการเงิน ทฤษฎีดอกเบี้ย การโมเดลความเสี่ยงในรูปแบบต่างๆ การสร้างสมการถดถอย หรือแม้กระทั่งวิชาที่ว่าด้วยธุรกิจประเภทต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์ประกันภัย (Actuary-แอคชัวรี) ต้องเอาไปใช้ประยุกต์ เช่น ธุรกิจประกันชีวิต ธุรกิจประกันวินาศภัย ธุรกิจประกันกลุ่ม ธุรกิจประกันอุบัติเหตุและสุขภาพ การจัดการความเสี่ยงในด้านการเงิน การประกันต่อ และการจัดการกองทุนบำเน็จบำนาญ เป็นต้น

neg:
พีชคณิตนามธรรม
พีชคณิตนามธรรม (อังกฤษ: abstract algebra) คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงพีชคณิต เช่น กรุป, ริง และฟิลด์. คำว่า "พีชคณิตนามธรรม" ถูกใช้เพื่อแยกแยะสาขาออกจาก พีชคณิตพื้นฐาน หรือ "พีชคณิตในโรงเรียน" ที่สอนเกี่ยวกับกฎสำหรับการจัดการสูตรและนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน

neg:
ปัญหาการตัดสินใจ
การพิจารณาว่าปัญหาการตัดสินใจหนึ่งๆ เป็นปัญหาที่แก้ได้หรือไม่เป็นประเด็นที่สำคัญในทฤษฎีการคำนวณได้ ทฤษฎีการคำนวณได้ จึงได้นิยามศัพท์คำว่า การตัดสินได้ และ การรับรองได้ โดยนิยามไว้ดังนี้
จะสังเกตเห็นว่า ปัญหาที่ตัดสินได้ย่อมเป็นปัญหาที่รับรองได้ไปด้วยและปัญหาที่ตัดสินไม่ได้อาจเป็นปัญหาที่รับรองได้ก็ได้ ยกตัวอย่างปัญหาที่ตัดสินไม่ได้แต่รับรองได้เช่น ปัญหาการยุติการทำงาน เป็นต้น

neg:
พีชคณิตเชิงเส้น
แมทริกซ์ ถูกให้ความหมายไว้ไม่ชัดเจนนักในยุคก่อนหน้าที่จะมีการพัฒนา ทฤษฏีริง (ring theory) ในพีชคณิตนามธรรม (abstract algebra) และด้วยการเข้ามาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ก็ทำให้มีการเพิ่มเติมรายละเอียดของพีชคณิตเชิงเส้นอีกมาก ตัวอย่างเช่นในปี ค.ศ. 1914 ลุดวิค ซิลเบอร์สไตน์ Ludwik Silberstine ได้รวมเอา แมทริกซ์ ไว้เป็นหนึ่งใน List of important publications in physis หลังจากนั้นไม่นาน ในสาขาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ก็ได้นำเอาการประยุกต์ของ Cramer's rule เข้ามาเป็นเครื่องมือในการแก้ปัญหา partial differential equations จนถือได้ว่าเป็นเรื่องปกติ และด้วยเหตุนี้เองจึงได้มีการบรรจุ วิชาพีชคณิตเชิงเส้น เข้าอยู่ในหลักสูตรมาตรฐานของมหาวิทยาลัยต่าง ๆ ถึงขนาดที่ เอ็ดวาร์ด โทมัส คอบสัน Edward Thomas Copson ได้เขียนเอาไว้ว่า

neg:
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ปัญหาของพีและเอ็นพีนั้น ทำให้เกิดการสร้างแนวความคิดที่สำคัญมากในการวิจัยสาขานี้ขึ้นมา ซึ่งก็คือแนวความคิดเกี่ยวกับ "ความยาก (hardness)" และ "ความบริบูรณ์ (completeness)" เราจะเรียกเซตของปัญหา X ว่ายากสำหรับเซตของปัญหา Y เมื่อปัญหาทุกปัญหาใน Y สามารถลดรูปอย่างง่ายไปเป็นปัญหาบางปัญหาใน X ได้ (สำหรับรายละเอียดการลดรูป ขอละไว้ในที่นี้) สำหรับคำว่า "ง่าย" ในการลดรูปนั้นจะมีความหมายแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับบริบทที่สนใจ เซตที่เป็น "เซตยาก" ที่เราสนใจมากที่สุดนั้นก็คือเซต เอ็นพีแบบยาก (NP-hard) และคำว่า "ง่าย" ในการลดรูปที่มักจะเป็นที่สนใจก็คือการลดรูปที่ใช้เวลาเป็นฟังก์ชันพหุนามของขนาดของข้อมูลป้อนเข้า

neg:
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ทฤษฎีบทที่สำคัญอันหนึ่งในด้านทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณก็คือ ไม่ว่าปัญหาของเราจะยากขนาดไหน เราจะมีปัญหาที่ยากกว่าเสมอ หากเราพิจารณาเฉพาะปัญหาที่สามารถแก้ได้ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของข้อมูลป้อนเข้า เราสามารถอธิบายในจุดนี้ได้ด้วยทฤษฎีลำดับชั้นของเวลา () ที่กล่าวไว้ว่า หากเราให้คอมพิวเตอร์ของเราทำงานด้วยเวลาที่มากขึ้น ปัญหาที่เราสามารถแก้ได้ก็จะเพิ่มขึ้น (นั่นก็คือ มีปัญหาที่แก้ไม่ได้ถ้าไม่มีการเพิ่มเวลา) ทฤษฎีลำดับชั้นของเนื้อที่ (space hierarchy theorem) ก็จะกล่าวในเชิงคล้ายกัน เพียงแต่มุ่งความสนใจในเรื่องของเนื้อที่ที่อนุญาตให้มีการใช้งานได้

neg:
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับโครงสร้างนามธรรมที่ถูกกำหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผลที่แน่นอนโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ เรามักนิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและโครงสร้าง, การเปลี่ยนแปลง และปริภูมิ กล่าวคร่าว ๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจำนวน" เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์

neg:
ทฤษฎีระบบควบคุม
ทฤษฎีระบบควบคุม () เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ ในที่นี้ การควบคุมหมายถึง การควบคุมระบบพลศาสตร์ ให้มีค่าเอาต์พุตที่ต้องการ โดยการป้อนค่าอินพุตที่เหมาะสมให้กับระบบ ตัวอย่างที่เห็นได้ทั่วไป เช่น ระบบควบคุมอุณหภูมิห้องของเครื่องปรับอากาศ หรือ แม้แต่ลูกลอยในโถส้วม ที่เปิดน้ำปิดน้ำโดยอัตโนมัติเมื่อน้ำหมดและน้ำเต็ม

neg:
เลออนฮาร์ด ออยเลอร์
ออยเลอร์มีผลงานในแทบทุกสาขาของวิชาคณิตศาสตร์ เช่น เรขาคณิต แคลคูลัส ตรีโกณมิติ พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน เป็นต้น เช่นเดียวกับแวดวงฟิสิกส์ เช่น ผลงานเรื่องกลศาสตร์ความต่อเนื่อง ทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ เป็นต้น ออยเลอร์ถือว่าเป็นบุคคลสำคัญคนหนึ่งในประวัติศาสตร์แห่งคณิตศาสตร์

neg:
คณิตตรรกศาสตร์
คณิตตรรกศาสตร์ ..ฝ() คือสาขาหนึ่งในคณิตศาสตร์ที่ศึกษาระบบรูปนัย และคุณลักษณะที่ระบบดังลฝฝกล่าวจะสามารถใช้เพื่อแสดงมโนทัศน์ของบทพิสูจน์ และการคำนวณในส่วนที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์

neg:
สถิติศาสตร์
สถิติศาสตร์ () เป็นการศึกษาการเก็บ การวิเคราะห์ การตีความ การนำเสนอและการจัดระเบียบข้อมูล ในการประยุกต์สถิติศาสตร์กับปัญหาทางวิทยาศาสตร์ อุตสาหกรรมหรือสังคม ฯลฯ จำเป็นต้องเริ่มด้วยประชากรหรือกระบวนการที่จะศึกษา ประชากรเป็นได้หลากหลาย เช่น "ทุกคนที่อาศัยอยู่ในประเทศหนึ่ง" หรือ "ทุกอะตอมซึ่งประกอบเป็นผลึก" สถิติศาสตร์ว่าด้วยทุกแง่มุมของข้อมูลซึ่งรวมการวางแผนการเก็บข้อมูลในแง่การออกแบบการสำรวจและการทดลอง

neg:
ทฤษฎีความผูกพัน
เริ่มตั้งแต่ปลายคริสต์ทศวรรษ 1980 ทฤษฎีความผูกพันและจิตวิเคราะห์ก็ได้สัมพันธ์ใกล้ชิดกันยิ่งขึ้น โดยเหตุความคิดที่มีร่วมกันกับนักทฤษฎีและนักวิจัยเรื่องความผูกพัน และความเปลี่ยนแปลงสำคัญที่เกิดในจิตวิเคราะห์
คือ แบบจำลองทางจิตวิเคราะห์คือ Object relations ซึ่งเน้นความสำคัญของความสัมพันธ์กับคนอื่นโดยเฉพาะ ได้กลายเป็นทฤษฎีหลัก ซึ่งเชื่อมกับความเข้าใจที่กำลังเพิ่มขึ้นในวงจิตวิเคราะห์ ถึงความสำคัญของพัฒนาการของทารกโดยความสัมพันธ์และโดยเครื่องหมายภายในที่เป็นตัวแทนสิ่งภายนอก
คือ วงการจิตวิเคราะห์ได้ยอมรับสภาพแวดล้อมในชีวิตเบื้องต้นว่าเป็นตัวการในพัฒนาการของเด็ก รวมถึงปัญหาการบอบช้ำทางจิตใจในวัยเด็กด้วย
ดังนั้น จึงเกิดคำอธิบายทางจิตวิเคราะห์ในเรื่องระบบความผูกพันและวิธีการรักษา โดยเกิดขึ้นพร้อมกับความเข้าใจว่าจำเป็นต้องมีการวัดผลของการรักษา

neg:
คณิตศาสตร์ประกันภัย
คณิตศาสตร์ประกันภัย () เป็นศาสตร์ที่ผสมผสานระหว่างสถิติศาสตร์และคณิตศาสตร์ เกี่ยวกับการคาดคะเนความเสี่ยงที่อาจเกิดขึ้นในอนาคต โดยทำให้เหตุการณ์ในอนาคตเป็นเหตุเป็นผลในรูปของการเงิน โดยการพัฒนาตัวแบบทางคณิตศาสตร์มาประเมินสถานการณ์ทางธุรกิจ โดยคิดถึงความไม่แน่นอนของเหตุการณ์ และสามารถที่จะวิเคราะห์เหตุการณ์ในอดีต ประเมินความเสี่ยงในปัจจุบัน และสร้างโมเดลคาดการณ์เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นได้ในอนาคต ซึ่งก็ทำงานได้ในองค์กรที่แตกต่างกัน คือ บริษัทประกันชีวิต, บริษัทให้คำปรึกษา, บริษัทประกันวินาศภัย และบริษัททางการเงินอื่นๆ

neg:
สัญกรณ์โอใหญ่
ในวิชาทฤษฎีความซับซ้อนและคณิตศาสตร์ สัญกรณ์โอใหญ่ () เป็นสัญกรณ์คณิตศาสตร์ที่ใช้บรรยายพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชัน โดยระบุเป็นขนาด (magnitude) ของฟังก์ชันในพจน์ของฟังก์ชันอื่นที่โดยทั่วไปซับซ้อนน้อยกว่า สัญกรณ์โอใหญ่เป็นหนึ่งในสัญกรณ์เชิงเส้นกำกับ หรืออาจเรียกว่า สัญกรณ์ของลันเดา หรือ สัญกรณ์ของบัคแมนน์-ลันเดา (ตั้งชื่อตามเอ็ดมุนด์ ลานเดาและเพาล์ บาคมันน์) สัญกรณ์โอใหญ่ใช้ในการเขียนเพื่อประมาณพจน์ในคณิตศาสตร์ ประยุกต์ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เพื่อใช้อธิบายความเร็วประมาณในการทำงานของโปรแกรมในกรณีต้องประมวลผลข้อมูลจำนวนมาก และใช้เพื่ออธิบายประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธีหรือโครงสร้างข้อมูลนั้น ๆ

neg:
ทฤษฎีการคำนวณ
นอกจากนี้ ยังเป็นที่เชื่อกันอีกว่า ทุกๆ โมเดลการคำนวณที่ "สมเหตุสมผล" จะมีความสามารถเทียบเท่ากับเครื่องจักรทัวริ่ง ซึ่งความเชื่อนี้เรียกว่า ข้อปัญหาของเชิร์ช-ทัวริง () ศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับขอบเขตของปัญหาที่คำนวณได้ด้วยโมเดลของเครื่องจักรแบบต่างๆนั้นคือ ทฤษฎีการคำนวณได้

neg:
ปัญหาการตัดสินใจ
การพิจารณาว่าปัญหาการตัดสินใจหนึ่งๆ เป็นปัญหาที่มีความซับซ้อนอย่างไรเมื่อเทียบกับปัญหาการตัดสินใจอื่นๆ เป็นประเด็นที่สำคัญในทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ จึงได้นิยามศัพท์คำว่าความบริบูรณ์ของปัญหา โดยนิยามว่า

neg:
ทฤษฎีเกม
ในทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเกม (อังกฤษ: game theory) เป็นการจำลองสถานการณ์ทากลยุทธ์ หรือเกมคณิตศาสตร์ ซึ่งความสำเร็จในการตัดสินใจของแต่ละบุคคลขึ้นอยู่กับทางเลือกของบุคคลอื่น แต่ละฝ่ายต่างก็พยายามแสวงหาผลตอบแทนให้ได้มากที่สุด ทฤษฎีเกมมีการใช้ในทางสังคมศาสตร์ (ที่โดดเด่นเช่น เศรษฐศาสตร์ การจัดการ การวิจัยปฏิบัติการ รัฐศาสตร์และจิตวิทยาสังคม) เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์รูปนัยอื่น ๆ (ตรรกะ วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และสถิติ) และชีววิทยา (โดยเฉพาะอย่างยิ่งชีววิทยาวิวัฒนาการและนิเวศวิทยา) แม้ว่าเดิมทฤษฎีเกมจะถูกพัฒนาขึ้นเพื่อวิเคราะห์การแข่งขันซึ่งบุคคลหนึ่งได้มากกว่าที่อีกฝ่ายหนึ่งเสีย แต่ก็ได้มีการขยายเพื่อให้ครอบคลุมถึงปฏิสัมพันธ์หลายรูปแบบ ซึ่งถูกจัดแบ่งประเภทตามเกณฑ์หลายแบบ
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีเกมแต่เดิมนั้นจะจำกัดความและศึกษาถึงสมดุลในเกมเหล่านี้ ในสภาพสมดุลทางเศรษฐศาสตร์ ผู้เล่นเกมแต่ละคนจะปรับใช้กลยุทธ์ที่ไม่สามารถเพิ่มผลตอบแทนของผู้เล่นนั้นได้ โดยให้กลยุทธ์ของผู้เล่นอื่นด้วย แนวคิดสมดุลจำนวนมากถูกพัฒนาขึ้น (ที่มีชื่อเสียงที่สุด คือ จุดสมดุลของแนช) เพื่ออธิบายถึงลักษณะของสมดุลทางกลยุทธ์ แนวคิดสมดุลเหล่านี้มีแรงผลักดันแตกต่างกันขึ้นอยู่กับสาขาที่นำไปประยุกต์ ถึงแม้จะพบว่ามีความสอดคล้องกันบ่อยครั้งก็ตาม วิธีปฏิบัตินี้ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์ และได้มีการโต้แย้งดำเนินต่อไปถึงความเหมาะสมของแนวคิดสมดุลหนึ่ง ๆ ความเหมาะสมของสมดุลทั้งหมดร่วมกัน และประโยชน์ของแบบจำลองคณิตศาสตร์ในทางสังคมศาสตร์

neg:
Representativeness heuristic
งานวิจัยปี ค.ศ. 1993 แสดงหลักฐานว่า ฮิวริสติกนี้อาจเป็นเหตุของเหตุผลวิบัติโดยประพจน์เลือก
คือ นักวิจัยพบว่า ผู้ร่วมการทดลองประเมินว่า คนที่มีความเป็นตัวแทนของผู้มีสถิติศาสตร์เป็นวิชาเอก (เช่น ฉลาดมาก เข้าการแข่งขันคิดเลข) ระดับสูง มีโอกาสที่จะมีสถิติศาสตร์เป็นวิชาเอกมากกว่ามีสังคมศาสตร์เป็นวิชาเอก (ซึ่งรวมสถิติศาสตร์เข้าไว้ด้วย) แต่จะไม่คิดว่า คนนี้มีโอกาสที่จะมีภาษาฮีบรูเป็นวิชาเอก สูงกว่ามีมนุษย์ศาสตร์เป็นวิชาเอก (ซึ่งรวมภาษาฮีบรูไว้ด้วย)
ดังนั้น เมื่อบุคคลเป้าหมายมีความเป็นตัวแทนในระดับสูงกับประเภทนั้น ๆ เท่านั้น ที่ประเภทนั้นจะรับการประเมินว่า มีความน่าจะเป็นสูงกว่าประเภทใหญ่ที่รวมเอาประเภทนั้นเข้าไว้ด้วย
การประเมินที่ผิดผลาดเหล่านี้ ดำรงอยู่แม้ว่าผู้ร่วมการทดลองจะเสียเงินจริง ๆ เมื่อทายค่าความน่าจะเป็นผิดพลาด

neg:
การลดรูป (ความซับซ้อน)
การลดรูปทั้งสามแบบถูกจัดลำดับตามความรุนแรงของเงื่อนไขในการลดรูป (การลดรูปแบบเลวินมีเงื่อนไขที่รุนแรงที่สุด) แต่การลดรูปที่นักเรียนส่วนใหญ่ได้เรียนกันในชั้นเรียนคือ การลดรูปคุก และการลดรูปคาร์ป ซึ่งสามารถนำมาใช้ได้ง่ายกว่า และเพียงพอในการนำมาศึกษาเอ็นพีบริบูรณ์ นอกจากนี้ยังมีการลดรูปอีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมในหมู่ของ "นักทฤษฎีการคำนวณได้" (Computability Theorist) ก็คือ การลดรูปแบบตารางค่าความจริง (Truth table reduction or tt-reduction) ซึ่งมีระดับความรุนแรงของเงื่อนไขมากกว่าการลดรูปทัวริง แต่น้อยกว่าการลดรูปแบบเอ็ม แต่เราไม่ขอกล่าวถึงรายละเอียดในที่นี้

neg:
การวิเคราะห์ขั้นตอนวิธี
ในศาสตร์คอมพิวเตอร์ การวิเคราะห์ขั้นตอนวิธี เป็นการตัดสินเกี่ยวกับจำนวนทรัพยากร (เช่น เวลา หรือเนื้อที่หน่วยความจำ) ที่จำเป็นต้องใช้ประมวลผลมัน ขั้นตอนวิธีส่วนใหญ่ถูกออกแบบให้ทำงานกับอินพุตที่มีความยาวเท่าไรก็ได้ โดยปกติประสิทธิภาพ หรือเวลาการทำงานของขั้นตอนวิธีเขียนในรูปฟังก์ชันความสัมพันธ์ของความยาวอินพุตกับจำนวนขั้นตอนที่ต้องใช้ในการทำงานนั้น (ความซับซ้อนด้านเวลา) หรือตำแหน่งของเนื้อที่จัดเก็บ (ความซับซ้อนด้านเนื้อที่)

neg:
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ formula_69 เป็นเซตเปิดใน formula_70 และ formula_71 เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ formula_65 ใน formula_69 ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง formula_74 ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก

neg:
การลดรูป (ความซับซ้อน)
การลดรูปในเชิงของทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณนั้นมีมากมายหลายรูปแบบ แต่ละแบบจะนำมาใช้ในแง่ที่แตกต่างกัน แล้วแต่ว่าเรากำลังสนใจปัญหาแบบใด เช่นถ้าเราสนใจปัญหาของการนับ เราจะบอกว่าการนับจำนวนในเซ็ต A ลดรูปไปเป็นการนับจำนวนในเซ็ต B รูปแบบของการลดรูปที่เรานำมาใช้ก็ควรเป็นการลดรูปที่ไม่ทำให้จำนวนนั้นเปลี่ยนไป การลดรูปแบบนี้เรียกว่า (parsimonious reduction) การลดรูปที่มักจะใช้กันบ่อยๆก็คือทั้งสามแบบที่กล่าวมานี้เป็นการลดรูปแบบใช้เวลาเป็นพหุนามกับขนาดของอินพุต และถูกสร้างขึ้นมาเพื่อใช้นิยามความยากของเอ็นพี การลดรูปคุกจะมีลักษณะเหมือนกับการลดรูปทัวริง (Turing reduction) ในเชิงของทฤษฎีการคำนวณได้ (ที่ไม่สนใจว่าเวลาในการทำงานที่ใช้เป็นเท่าไร แต่จะเน้นที่การคำนวณได้เท่านั้น) การลดรูปคาร์ปจะเหมือนกับการลดรูปแบบเอ็ม (m-reduction or many-to-one reduction)

neg:
พลศาสตร์ของไหลเชิงคณนา
พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ (CFD ซี่งย่อมาจาก Computational Fluid Dynamics) คือสาขาหนึ่งในกลศาสตร์ของไหลที่ใช้กระบวนการเชิงตัวเลขและขั้นตอนวิธี (algorithm) ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการไหลของของไหล เพื่อการนี้ คอมพิวเตอร์จะถูกนำมาใช้เพื่อทำการคำนวณนับล้านๆครั้ง ก่อนที่จะสร้างแบบจำลองการทำปริกิริยาของของไหลและก๊าซต่อขอบผิวซึ่งกำหนดโดยสภาวะของขอบเขต แต่ทว่า ผลลัพธ์ที่ได้นั้นก็ยังเป็นเพียงการประมาณการณ์ที่ได้จากในหลายๆกรณีเท่านั้นถึงแม้ว่าจะใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ความเร็วสูงในการคำนวณก็ตาม อย่างไรก็ตาม การพัฒนาของโปรแกรมนี้ในปัจจุบัน ความแม่นยำและความเร็วในการคำนวณสถานะการณ์ที่ซับซ้อนนั้นได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้นเรื่อยๆ เช่นการจำลองการไหลแบบ หรือ Transonic โปรแกรมนี้แต่เดิมถูกนำมาใช้กับการจำลองกังหันลม แต่ปัจจุบันถูกนำมาใช้ในการทดสอบการบินด้วย

neg:
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
กลุ่มความซับซ้อนของปัญหา เอ็นพี (NP) คือเซตของปัญหาการตัดสินใจที่สามารถแก้ปัญหาได้โดยใช้เครื่องจักรทัวริงเชิงไม่กำหนดในเวลาพหุนาม ปัญหาที่อยู่ในกลุ่มนี้หลายปัญหาเป็นปัญหาที่มนุษย์ต้องการเป็นอย่างมากที่จะแก้ให้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ตัวอย่างของปัญหาในกลุ่มนี้ก็คือ ปัญหาความสอดคล้องแบบบูล (Boolean satisfiability problem) ปัญหาเส้นทางของฮามิลตัน () และ ปัญหาจุดยอดปกคลุม () ปัญหาทุกปัญหาในกลุ่มนี้สามารถตรวจคำตอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ

neg:
ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์
ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ () เป็นสาขาวิชาฟิสิกส์ที่ใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหา โดยอาจแบ่งได้เป็น 2 ยุค คือยุคแรกหรือยุคคลาสสิก ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ได้รับการคิดค้นเพื่อใช้แก้ปัญหาทางกลศาสตร์ ทฤษฎีไฟฟ้าแม่เหล็ก และอุณหพลศาสตร์เป็นต้น และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ยุคหลังหรือยุคใหม่ได้รับการคิดค้นเพื่อแก้การปัญหาในส่วนกลศาสตร์ควอนตัม ทฤษฎีสัมพัทธภาพ รวมทั้งทฤษฎีสตริงและทฤษฎีแห่งสรรพสิ่ง นักคณิตศาสตร์ฟิสิกส์ที่มีชื่อเสียง ได้แก่ แบลซ ปัสกาล, ไอแซก นิวตัน, เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์, โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์, ฌ็อง เลอ รง ดาล็องแบร์, อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์, เจมส์ คลาร์ก แมกซ์เวลล์, ลอร์ด เคลวิน, โจซิอาห์ วิลลาร์ด กิบส์, ดาวิท ฮิลเบิร์ท, อ็องรี ปวงกาเร, สตีเฟน ฮอว์กิง เป็นต้น

neg:
สาขาของคณิตศาสตร์
สาขาของคณิตศาสตร์ แบ่งตาม 2000 Mathematics Subject Classification (MSC2000)

neg:
วิชาการบัญชี
วิชาการบัญชี เป็นวิชาศึกษาเรื่อง ทรัพย์สิน หนี้สิน ทุนของกิจการ รายรับ และ รายจ่าย โดยการศึกษานั้นจะอิงกับ GAAP พร้อมทั้งดูตัวกฎหมายและข้อบังคมในแต่ล่ะประเทศ ทั้งนี้ในวิชาการบัญชียังได้แตกแกเป็นหลายแขนง บัญชีการตรวจสอบ บัญชีธนาคาร บัญชีต้นทุน(บัญชีบริหาร) ฯลฯ ทั้งนี้ วิชาการบัญชีได้แบ่งได้อย่างเด่งชัดอยู่ 2 ประเภท คือ การทำบัญชี กับการตรวจสอบบัญชี

neg:
การเรียนรู้ของเครื่อง
การวิเคราะห์เชิงคำนวณของการเรียนรู้ของเครื่อง และการวัดประสิทธิภาพการเรียนรู้ เป็นอีกสาขาหนึ่งทางวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์สายทฤษฎีที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีการเรียนรู้เชิงคำนวณ อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีก็ไม่สามารถรับประกันประสิทธิภาพของอัลกอริทึมได้เพราะข้อมูลนั้นมีจำกัดและอนาคตมีความไม่แน่นอน แต่ทฤษฎีก็สามารถบอกขอบเขตบนความน่าจะเป็นได้ว่า ประสิทธิภาพน่าจะอยู่ในช่วงใด นอกจากนี้ นักวิทยาศาสตร์ด้านนี้ยังได้ศึกษาดูต้นทุนทางเวลาและความเป็นไปได้ของการเรียนรู้ของเครื่องด้วย โดยการคำนวณที่ถือว่าเป็นไปได้ในการเรียนรู้นั้นจะต้องสามารถเรียนรู้ได้ในเวลาโพลิโนเมียล

neg:
ฟังก์ชันต่อเนื่อง
ในคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ นั้นแนวคิดของความต่อเนื่องถูกดัดแปลงให้มีความเหมาะสมกับคณิตศาสตร์แขนงนั้นๆ การดัดแปลงที่พบได้บ่อยที่สุดมีอยู่ในวิชาทอพอโลยี ซึ่งท่านสามารถหาข้อมูลเพิ่งเติมได้ในบทความเรื่อง ความต่อเนื่อง (ทอพอโลยี) อนึ่ง ในทฤษฎีลำดับโดยเฉพาะในทฤษฏีโดเมน นิยามของความต่อเนื่องที่ใช้คือความต่อเนื่องของสก็อตซึ่งเป็นนิยามที่สร้างขึ้นจากความต่อเนื่องที่ถูกอธิบายในบทความนี้อีกทีหนึ่ง

neg:
อันเดรย์ คอลโมโกรอฟ
อันเดรย์ นิโคลาเยวิช คอลโมโกรอฟ (รัสเซีย: Андре́й Никола́евич Колмого́ров; อังกฤษ: Andrey Nikolaevich Kolmogorov), เกิดเมื่อวันที่ 25 เมษายน ค.ศ. 1903 เสียชีวิต 20 ตุลาคม ค.ศ. 1987, เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ยักษ์ใหญ่ในวงการคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 โดยมีผลงานโดดเด่นมากในงาน ทฤษฎีความน่าจะเป็นและทอพอโลยี. อันที่จริงแล้ว คอลโมโกรอฟมีผลงานในแทบทุกแขนงของคณิตศาสตร์ เช่น ตรรกศาสตร์, อนุกรมฟูรีเย, ความปั่นป่วน (turbulence), กลศาสตร์คลาสสิก นอกจากนี้ยังเป็นหนึ่งในผู้คิดค้น ความซับซ้อนแบบคอลโมโกรอฟ ร่วมกับ เกรโกรี ไชตัง และ เรย์ โซโลโมนอฟ ในช่วงช่วงปี ค.ศ. 1960 ถึง ค.ศ. 1970.

neg:
การยกกำลัง
โคไซน์และไซน์ถูกนิยามขึ้นโดยทางเรขาคณิตก่อนมีการประดิษฐ์จำนวนเชิงซ้อนในประวัติศาสตร์ สูตรทั้งสองด้านบนเป็นการลดรูปสูตรที่ซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกเป็นสูตรการยกกำลังอย่างง่ายว่า
การใช้การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเชิงซ้อน อาจช่วยลดรูปปัญหาในตรีโกณมิติไปเป็นพีชคณิตได้

neg:
พี (ความซับซ้อน)
หากเราสนใจกลุ่มความซับซ้อนพี แบบที่เป็น non-uniform เราจะได้นิยามของ P/poly ซึ่งเป็นกลุ่มความซับซ้อนที่ปัญหาภายในกลุ่มสามารถแก้ได้ด้วยกลุ่มของวงจร (family of circuit) ที่มีขนาดเป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของอินพุต (แท้จริงแล้ว พี/โพลี สามารถนิยามได้อีกแบบหนึ่งด้วยการใช้เครื่องจักรทัวริงที่รับคำแนะนำได้ และนิยามทั้งสองแบบนี้พิสูจน์ได้ว่าเหมือนกัน)

neg:
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
กลุ่มความซับซ้อนของปัญหา พี (P) คือเซตของปัญหาการตัดสินใจที่สามารถหาคำตอบได้ ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนามของขนาดข้อมูลป้อนเข้า ด้วยเครื่องจักรทัวริงเชิงกำหนด (deterministic turing machine) นิยามนี้สอดคล้องกับแนวคิดของปัญหาที่สามารถหาคำตอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ


query: ประเทศฟินแลนด์มีธงชาติสีอะไร?

pos:
ธงชาติฟินแลนด์
ธงชาติฟินแลนด์ ( ธงกากบาทสีน้ำเงิน) ใช้พื้นฐานธงกากบาทแบบนอร์ดิกที่เริ่มต้นโดยธงชาติเดนมาร์ก ธงของฟินแลนด์เป็นรูปกากบาทนอร์ดิกสีฟ้าบทพื้นสีขาว โดยสีฟ้าแสดงถึงทะเลสาบและท้องฟ้า และสีขาวแสดงถึงหิมะและราตรีสีขาวของฟินแลนด์ในช่วงฤดูหนาว ธงรัฐการมีตราแผ่นดินอยู่ที่จุดตัด นอกนั้นแล้วเหมือนกับธงพลเรือนทุกประการ ธงของทหารนั้นมีปลายของกากบาทเป็นลักษณะแหลม และธงของประธานาธิบดีมีลักษณะคล้ายธงของทหาร แต่ว่ามีตราอิสริยาภรณ์กางเขนแห่งเสรีภาพ (ภาษาฟินแลนด์: Vapaudenristin ritarikunta) อยู่ที่มุมซ้ายบน

neg:
ธงชาติโรมาเนีย
รัฐธรรมนูญแห่งสาธารณรัฐโรมาเนียได้ระบุถึงธงชาติโรมาเนียไว้ว่า “ธงของโรมาเนียเป็นธงสามสี แถบสีต่างๆ เรียงลำดับตามแนวตั้งโดยนับจากด้านคันธงไป ประกอบด้วยสีน้ำเงิน สีเหลือง สีแดง” สัดส่วนและระดับสีของธงแบบมาตรฐานได้ถูกกำหนดไว้พร้อมกับข้อปฏิบัติเกี่ยวกับธงโดยกฎหมายว่าด้วยธง ซึ่งได้ตราขึ้นในปี ค.ศ. 1994 และต่อมาได้มีการแก้ไขเพิ่มเติมในปี ค.ศ. 2001

neg:
ธงชาติราชอาณาจักรยูโกสลาเวีย
ธงชาติราชอาณาจักรยูโกสลาเวีย เป็นธงแถบตามยาว สีนำเงิน, สีขาว, และสีแดง ธงชาติ และ ธงพาณิชย์ เป็นธงสามสีพื้นสีอุดมการณ์ร่วมสลาฟ (Pan-Slavic colours) ธงสามสีพื้นสีอุดมการณ์ร่วมสลาฟ ประกาศใช้ที่กรุงปราก สาธารณรัฐเช็ก เมื่อปี พ.ศ. 2391

neg:
ประเทศฟินแลนด์
จากข้อมูลถึงปี พ.ศ. 2548 ถนนสาธารณะทั้งหมดของประเทศมีความยาว 78,189 กิโลเมตร ทางรถไฟทั้งประเทศมีความยาว 5,741 กิโลเมตร โดยในเฮลซิงกิมีระบบรถไฟในเมือง และในปัจจุบันกำลังมีโครงการสร้างไลท์เรลในเมืองตัมเปเร และตุรกุ ฟินแลนด์มีสนามบิน 148 แห่งโดยสนามบินที่ใหญ่ที่สุดคือท่าอากาศยานเฮลซิงกิ-วันตา

neg:
ธงชาติอัฟกานิสถาน
ธงชาติแบบแรกของสาธารณรัฐ เป็นการเอาธงในสมัยก่อนหน้ามาใช้เป็นการชั่วคราว โดยลบเลข ฮ.ศ. 1348 ออกเสีย ต่อมามีการแก้ไขแแบบธง สำหรับใช้เป็นธงของสาธารณรัฐแบบที่ 2 ใช้สีอย่างธงชาติเดิม แต่เรียงแถบสีใหม่ตามแนวนอน เป็นสีดำ-แดง-เขียว ตามลำดับ แถบสีเขียวนั้นกว้างเป็นสองเท่าของแถบสีดำและแดง ที่มุมธงบนด้านคันธงใช้ภาพตราสัญลักษณ์ใหม่ เป็นตรานกอินทรีสยายปีกมีรัศมีเปล่งที่ศีรษะ (หมายถึงสาธารณรัฐที่เกิดใหม่) มีรูปที่นั่งแสดงธรรมที่อกนก (หมายถึงสุเหร่า ศาสนาสถานในศาสนาอิสลาม) ล้อมรอบด้วยช่อรวงข้าว รูปเหล่านี้เป็นสีเหลือง สีธงชาติในสมัยนี้มีการนิยามไว้ว่า สีดำหมายถึงประวัติศาสตร์แห่งความมืดมนและทุกข์ยากของชาติ สีแดงหมายถึงเลือดที่หลั่งรินเพื่อเอกราช และสีเขียวหมายถึงความมั่งคั่งจากการทำเกษตรกรรม

neg:
ประเทศฟินแลนด์
อาหารฟินแลนด์มักมีลักษณะเรียบง่าย และมักได้รับการกล่าวถึงในด้านความเป็นมิตรต่อสุขภาพ ส่วนประกอบที่สำคัญคือปลา เนื้อสัตว์ เบอร์รี และผักต่างๆ ในขณะที่การใช้เครื่องเทศต่างๆมีไม่มากนัก ตัวอย่างอาหารที่สำคัญของฟินแลนด์ที่ค่อนข้างเป็นเอกลักษณ์ได้แก่ ruisleipä ("ขนมปังข้าวไรย์" เป็นขนมปังที่มีสีเข้มและมีรสเปรี้ยว) และ karjalanpiirakka ("พายคาเรเลีย" แป้งกรอบสอดไส้ข้าว) เป็นต้น

neg:
ธงชาตินอร์เวย์
ธงชาตินอร์เวย์ มีอายุนับย้อนหลังขึ้นไปถึงปี พ.ศ. 2364 เมื่อครั้งที่นอร์เวย์ยังคงเป็นส่วนหนึ่งของสวีเดน จากการยอมยกดินแดนให้ของประเทศเดนมาร์กเมื่อ พ.ศ. 2357 ลักษณะของธงนี้มีรูปแบบเดียวกันกับธงชาติเดนมาร์ก แต่เพิ่มรูปไม้กางเขนสีน้ำเงินขอบขาว เพื่อเป็นการแสดงความรักชาติของชาวนอร์เวย์

neg:
ธงชาติรัสเซีย
ธงสามสี ขาว-น้ำเงิน-แดง ได้มีการนำกลับมาใช้เป็นธงชาติรัสเซียอีกครั้งเมื่อวันที่ 22 สิงหาคม พ.ศ. 2534 ซึ่งในเวลาต่อมารัฐบาลรัสเซียได้ถือเอาวันที่ 22 สิงหาคมของทุกปี เป็นวันธงชาติ (Flag day)

neg:
ธงชาติโปแลนด์
สีขาวและสีแดงถือเป็นสีประจำชาติของโปแลนด์อย่างเป็นทางการมานับตั้งแต่ ค.ศ. 1831 ต้นกำเนิดของทั้งสองสีนั้นมีที่มีจากลวดลายของตราอาร์มแห่งเครือจักรภพโปแลนด์-ลิทัวเนียในอดีต ซึ่งได้แก่รูปนกอินทรีสีขาวของโปแลนด์ และรูปอัศวินชุดขาวขีม้าขาวถือโล่ของแกรนด์ดัชชีแห่งลิทัวเนีย ซึ่งตราอาร์มทั้งสองดวงนั้นต่างใช้สีพื้นตราเป็นสีแดงเช่นกัน โดยในยุคก่อนหน้านั้น กองทหารชาวโปลจะทำริ้บบิ้นรูปวงกลม (cockade) ด้วยสีต่าง ๆ ผสมกันอย่างหลากหลายติดที่หมวกเป็นสัญลักษณ์ สำหรับธงชาติโปแลนด์นั้นได้รับการยอมรับฐานะอย่างเป็นทางการในปี ค.ศ. 1919 และนับตั้งแต่ปี ค.ศ. 2004 เป็นต้นมา โปแลนด์จะมีการเฉลิมฉลองวันธงชาติในวันที่ 2 พฤษภาคมของทุกปี

neg:
ธงชาติกรีซ
อนึ่ง สีน้ำเงินและสีขาวที่ใช้ในธงนี้มีการตีความความหมายต่างๆ อยู่มาก บ้างก็ว่าหมายถึงสีของท้องฟ้าและน้ำทะเลในประเทศนี้ บ้างก็ว่าเป็นสีของเครื่องแต่งกายชาวกรีกตามธรรมเนียมโบราณ ทั้งนี้ ระดับของสีน้ำเงินในธงชาตินี้มีการเปลี่ยนแปลงมาแล้วหลายครั้ง โดยแบบสีที่ใช้อยู่ในปัจจุบันเริ่มใช้มาตั้งแต่ช่วงปลายคริสต์ทศวรรษที่ 1960

neg:
ธงกรีนแลนด์
ธงกรีนแลนด์ ประกาศใช้เมื่อวันที่ 21 มิถุนายน ค.ศ. 1985 ออกแบบโดยทิว เครสเตินเซิน เป็นธงสีขาวและแดง ใกล้กับด้านคันธงมีวงกลมที่ครึ่งบนเป็นสีแดง ครึ่งล่างเป็นสีขาว

neg:
ธงชาติเอสโตเนีย
กระทั่งเมื่อกองทัพนาซีเยอรมนีล่าถอยไปในเดือนกันยายน พ.ศ. 2488 ชาวเอสโตเนียก็ได้ใช้ธงฟ้า-ดำ-ขาว เป็นธงชาติของตนเองอีกครั้งในระยะสั้นๆ ก่อนจะกลายเป็นธงต้องห้ามอีกครั้งเมื่อกองทัพสหภาพโซเวียตกลับเข้ามายึดครองเอสโตเนียในวันที่ 22 กันยายน ของปีนั้น และธงแดงของสาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตเอสโตเนียก็ได้ถูกนำมาใช้เป็นธงชาติเอสโตเนียอีกครั้งเป็นระยะเวลานานหลายปี

neg:
ธงชาติติมอร์-เลสเต
ธงชาติสาธารณรัฐประชาธิปไตยติมอร์-เลสเต (; ) ประกาศใช้ครั้งแรกเมื่อวันที่ 20 พฤษภาคม พ.ศ. 2545 โดยรัฐบาลติมอร์-เลสเต เมื่อสาธารณรัฐประชาธิปไตยติมอร์-เลสเตได้รับเอกราชจากอินโดนีเซีย ความหมายของสีธงชาติที่ระบุไว้ในรัฐธรรมนูญดังนี้ สามเหลี่ยมสีเหลือง (PMS 123) หมายถึง "ประวัติศาสตร์ยุคอาณานิคมโปรตุเกส ". สามเหลี่ยมสีดำ หมายถึง "การกดขี่ และ ความเจ็บปวดในอดีต"; พื้นธงสีแดง (PMS 485) หมายถึงการต่อสู้เพื่อเอกราช และ เสรีภาพ"; ดาว 5 แฉก, หรือ "แสงสว่างนำทางของชาติ", สีขาว หมายถึง สันติภาพ และ ความสงบสุข.

neg:
ธงชาติสาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตคารีโล-ฟินนิช
ธงชาติสาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตคารีโล-ฟินนิช มีลักษณะเป็นธงแดงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 1 ส่วน ยาว 2 ส่วน ที่มุมธงบนด้านคันธงมีรูปค้อนเคียวและดาวแดงอย่างธงชาติสหภาพโซเวียต  ตอนล่างของธงเป็นแถบสีฟ้าและแถบสีเขียวพาดไปตามความยาวของธง เรียงลำดับจากบนลงล่าง แต่ละแถบกว้างประมาณ 1 ใน 5 ของส่วนกว้างของธง ธงดังกล่าวนี้เริ่มใช้เมื่อ ค.ศ. 1953 และเลิกใช้ในปี ค.ศ. 1956 จากการยุบเลิกสาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตคารีโล-ฟินนิชโดยสหภาพโซเวียต

neg:
ธงชาติยูเครน
สีซึ่งอยู่ในธงชาติยูเครนประกอบด้วยสีฟ้า หมายถึงท้องฟ้า และสีเหลือง หมายถึงสีทองของรวงข้าวสาลีในประเทศนี้ สีดังกล่าวนี้มีความเกี่ยวข้องกับชาวยูเครนมาเป็นระยะเวลานานตั้งแต่ก่อนจะมีการนำศาสนาคริสต์เข้ามาในยูเครน โดยปรากฏว่าในสมัยโบราณได้มีธรรมเนียมในการตกแต่งงานพิธีการในท้องถิ่นด้วยสีทั้งสอง เพื่อแทนความหมายของน้ำและไฟ ในสมัยอาณาจักรเคียฟรุส สีเหลืองและสีฟ้ายังคงเป็นสีที่ได้รับความนิยมโดยทั่วไป ต่อมาสีดังกล่าวนี้ก็ได้ใช้เป็นธงของราชรัฐฮาลีช-โวลฮีเมีย (Halych-Volhynia) ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 13 และ 14
ระหว่างคริสต์ศตวรรษที่ 16 - 18 กองทหารคอสแซคได้ใช้ธงสีต่างๆ เป็นสัญลักษณ์อย่างแพร่หลาย อาทิ สีเหลือง-ฟ้า สีแดง-ดำ สีแดงเลือดหมู-เขียวมะกอก โดยเฉพาะ
หลังการปฏิวัติรัสเซียในปี ค.ศ. 1917 ชาวยูเครนได้ใช้ธงทั้งสีฟ้า–เหลือง และ สีเหลือง–ฟ้า เป็นสัญลักษณ์ในการต่อสู้เพื่ออิสรภาพระหว่างปี ค.ศ. 1917 - 1920

neg:
ธงชาติฮังการี
ธงชาติฮังการี () เริ่มใช้เมื่อวันที่ 1 ตุลาคม ค.ศ. 1957 มีทั้งหมด 3 สี คือ สีแดง ,สีขาว และ สีเขียว โดยสีแดง หมายถึง เลือดของผู้รักชาติ สีขาว หมายถึง สันติภาพและแม่น้ำดานูบ สีเขียว หมายถึง ความหวังและธรรมชาติ ในประเทศฮังการี และเคยเป็นธงประจำสาธารณรัฐประชาชนฮังการี
รัฐธรรมนูญแห่งสาธารณรัฐฮังการีมิได้กำหนดสัดส่วน ความกว้าง:ความยาว ของธงชาติ; แต่, รัฐบัญญัติที่ออกประกาศใช้ในปี ค.ศ. 1957 ได้มีการกำหนดสัดส่วน ความกว้าง:ความยาว ของธงเรือแห่งชาติ โดยมีลักษณะเดียวกับธงชาติ (ธงแถบสีแดง-ขาว-เขียว) ในสัดส่วน 2:3.

neg:
ธงชาติเดนมาร์ก
ไม่มีบันทึกทางประวัติศาสตร์ใดๆ ที่สนับสนุนตำนานดังกล่าว บันทึกตำนานฉบับแรกมีอายุย้อนหลังไปราว 300 ปี หลังจากยุทธการครั้งนั้น และบันทึกได้เชื่อมโยงกับตำนานไปยังการรบขนาดเล็กกว่าที่สมรภูมิเฟลลิน (ในภาษาเอสโตเนียเรียกว่า Viljandi) ในปี ค.ศ. 1208 ถึงแม้ว่าสถานที่เกิดเหตุจะยังคงอยู่ในเอสโตเนียก็ตาม แม้เรื่องราวของธงในการรบที่เฟลลินจะไม่มีหลักฐานทางประวัติศาสตร์สนับสนุนเช่นกัน แต่ก็เข้าใจได้ไม่ยากว่าเหตุใดสถานที่เล็กและไม่เป็นที่รู้จักอย่างเฟลลิน จึงถูกแทนที่ด้วยการรบขนาดใหญ่กว่าที่เรวาล (ทาลลินน์) จากการทำสงครามในเอสโตเนียของพระเจ้าวัลเดอมาร์ที่ 2 แห่งเดนมาร์ก (ครองราชย์ ค.ศ. 1202 – 1241)

neg:
ธงชาติรัสเซีย
แบบของธงชาติรัสเซียที่ใช้อยู่ในธงวันนี้มีลักษณะแตกต่างจากธงที่เริ่มใช้ใน ค.ศ. 1991 เล็กน้อย จากการแก้ไขเพิ่มเติมใน ค.ศ. 1993 (พ.ศ. 2536) และรับรองให้ใช้เป็นธงชาติอย่างเป็นทางการนับตั้งแต่ ค.ศ. 2000 (พ.ศ. 2543) เป็นต้นมา โดยสีของธงนี้จัดเป็นสีพันธมิตรสลาฟ ซึ่งประกอบด้วยสีแดง-น้ำเงิน-ขาว ปรากฏอยู่ในธงชาติของกลุ่มประเทศสลาฟหลายประเทศ

neg:
ธงประจำรัฐฮาวาย
ธงประจำรัฐฮาวาย (ฮาวาย: "Ka Hae Hawaii") มีลักษณะมีธงชาติสหราชอาณาจักรอยู่มุมขวา แถบมีอยู่ 3 สี คือ สีแดง สีน้ำเงิน และสีขาว มีทั้งหมด 8 แถบ แสดงถึงเกาะที่อยู่ที่รัฐฮาวายทั้งหมด 8 เกาะ (เกาะฮาวาย, เกาะเมาอี, เกาะลาไน, เกาะโมโลไก, เกาะโอวาฮู, เกาะเคาไอ, เกาะคาโฮโอลาเว และเกาะนิอิฮาว) ธงมีพื้นที่อัตราส่วน 01:02 ส่วน แต่ที่ใช้กันทั่วไปมีอัตราส่วน 03:05 และ 02:03 ส่วน

neg:
ประเทศฟินแลนด์
พ.ศ. 2352 ในช่วงสงครามระหว่างสวีเดนและรัสเซีย กองทัพของจักรพรรดิอเล็กซานเดอร์ที่ 1 ก็สามารถยึดดินแดนฟินแลนด์ได้อีกครั้ง ฟินแลนด์ดำรงสถานะเป็นดินแดนปกครองตนเอง ราชรัฐฟินแลนด์ ภายใต้จักรวรรดิรัสเซีย จนกระทั่งถึงการประกาศเอกราชในปี พ.ศ. 2460 ในยุคของราชรัฐฟินแลนด์ ภาษาฟินแลนด์ได้รับความสำคัญมากขึ้นในฟินแลนด์ อันเป็นผลมาจากความเคลื่อนไหวของขบวนการชาตินิยม จนกระทั่งได้รับสถานะเดียวกับภาษาสวีเดนใน พ.ศ. 2435 ต่อมาในปี พ.ศ. 2449 ฟินแลนด์เริ่มมีการให้สิทธิเลือกตั้งอย่างเท่าเทียม (ผู้ใหญ่ทุกคนมีสิทธิกันเท่าเทียมกันโดยไม่คำนึงถึงเชื้อชาติ เพศ หรือสถานะทางสังคม) โดยฟินแลนด์เป็นชาติแรกในโลก ที่ให้สิทธิทั้งการเลือกตั้งและการลงเลือกตั้งแก่สตรี

neg:
ธงชาติยูเครน
สีของธงชาติยูเครนที่ระบุในกฎหมายคือ "สีฟ้า และ สีเหลือง", ค่าสีในธงชาติเยอรมนีไม่ได้กำหนดค่าสีอย่างเป็นทางการ และ ในบางโอกาสค่าสีในธงได้มีการเปลี่ยนแปลงนับตั้งแต่นั้น. ค่าสีมาตรฐานสำหรับธงชาติเป็นดังนี้ DSTU 4512:2006

neg:
ประเทศฟินแลนด์
ส่วนหนึ่งของดนตรีฟินแลนด์สมัยใหม่ของฟินแลนด์ที่มีชื่อเสียงคือดนตรีเดธเมทัล เช่นเดียวกับวงดนตรีร็อก นักดนตรีแจ๊ซ และนักแสดงฮิปฮอป ดนตรีที่เป็นที่นิยมของฟินแลนด์ยังรวมไปถึงอุปรากร และดนตรีแดนซ์ วงดนตรีจากฟินแลนด์หลายวงประสบความสำเร็จในวงการดนตรีเฮฟวีเมทัลและดนตรีร็อกของยุโรปและญี่ปุ่น เช่น วงไนท์วิช อะมอร์ฟิส วัลตาริ เป็นต้น พ.ศ. 2549 วงดนตรีลอร์ดิ (Lordi) จากฟินแลนด์ ชนะการประกวดเพลงยูโรวิชัน 2006 โดยเป็นชัยชนะครั้งแรกของฟินแลนด์ตลอดยี่สิบปีที่ส่งประกวด เพลงที่ใช้ในการประกวดคือเพลง"ฮาร์ดร็อกฮัลเลลูยา" (Hard Rock Halleluja)

neg:
ธงประธานาธิบดีฟิลิปปินส์
ธงประธานาธิบดีสาธารณรัฐฟิลิปปินส์ (Filipino: "Watawat ng Pangulo ng Pilipinas") ประกอบไปด้วยตราประจำตำแหน่งประธานาธิบดี บนพื้นหลังสีน้ำเงิน ธงและตราประจำตำแหน่งถูกออกแบบขึ้นในปี ค.ศ. 1947 ธงประธานาธิบดีมีอยู่หลายยุคหลายสมัย เช่นเดียวกับตราสัญลักษณ์ของประธานาธิบดี ขึ้นอยู่กับอิทธิพลของประเทศในช่วงเวลานั้น

neg:
ธงชาติดอมินีกา
ธงชาติดอมินีกา มีลักษณะเป็นธงสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นสีเขียว กลางธงมีรูปกางเขน 3 สี ได้แก่ สีเหลือง สีดำ และสีขาว ซ้อนทับกัน ตรงกลางรูปกางเขนนั้น เป็นรูปวงกลมสีแดง ภายในมีรูปนกแก้ว ล้อมรอบด้วยดาวห้าแฉกสีเขียว 10 ดวง ธงนี้เริ่มใช้อย่างเป็นทางการเมื่อวันที่ 3 พฤศจิกายน พ.ศ. 2521 ต่อมาได้แก้ไขเพิ่มเติมแบบธงอีก 3 ครั้ง ในปี พ.ศ. 2524, พ.ศ. 2531 และ พ.ศ. 2533 โดยมีข้อแตกต่างที่สำคัญ คือ แบบธงก่อนหน้าปี พ.ศ. 2533 นั้น รูปนกแก้วจะหันหน้าไปธงด้านปลายธง ส่วนแบบที่แก้ไขในปีนั้น รูปนกแก้วจะหันหน้าไปด้านคันธง ทั้งการเรียงลำดับสีของรูปกางเขนในธงแต่ละช่วงก็มีความแตกต่างกัน

neg:
ธงชาติเซนต์คิตส์และเนวิส
ธงชาติเซนต์คิตส์และเนวิส เป็นธงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 2 ส่วน ยาว 3 ส่วน ภายในมีแถบสีดำขอบสีเหลือง ภายในมีดาวห้าแฉกสีขาว 2 ดวง พาดผ่านจากมุมบนด้านปลายธงมายังมุมล่างด้านคันธง แบ่งพื้นธงออกเป็นรูปสามเหลี่ยม 2 รูป รูปหนึ่งอยู่ด้านคันธง มีพื้นสีเขียว ส่วนอีกรูปอยู่ด้านปลายธง พื้นสีแดง ธงนี้เป็นที่ชนะเลิศในการประกวดออกแบบธงชาติเมื่อ พ.ศ. 2526 เริ่มใช้เมื่อวันที่ 19 กันยายน ปีเดียวกัน สีที่ใช้ในธงนี้เป็นสีพันธมิตรแอฟริกา

neg:
รายชื่อธงเรือในประเทศโปแลนด์
ธงหน่วยงานพิเศษต่างๆ ของรัฐ เป็นสิ่งที่ใช้สำหรับเรือในราชการของฝ่ายพลเรือนในขณะปฏิบัติหน้าที่ ธงเหล่านี้ใช้การออกแบบขั้นพื้นฐานเหมือนกัน กล่าวคือ พื้นธงสีขาว มีแถบกว้างขนาด 1 ใน 5 ส่วนของธง พาดที่กลางธงตามแนวยาว กลางธงแต่ละธงนั้นมีรูปตราแผ่นดินซ้อนทับบนรูปสมอสีเหลืองทอง ซึ่งสมอดังกล่าวสูง 3 ใน 5 ส่วนของความกว้างธง แถบสีแนวยาวที่กลางธงนั้นเว้นเป็นช่องไว้ ไม่สัมผัสกับรูปสมอหรือตราอาร์ม ส่วนการระบุว่าเรือดังกล่าวสังกัดหน่วยงานใดนั้นจะกระทำด้วยการใช้สีของแถบกลางธง

neg:
ธงชาติเอสโตเนีย
การให้นิยามความหมายของธงชาติเอสโตเนียมีอยู่หลายแบบ หากตีความตามประวัติศาตร์เอสโตเนียนั้น สีฟ้าจะหมายถึงอิสรภาพในอดีตกาล สีดำหมายถึงสมัยที่ประเทศสูญเสียเอกราช และสีขาวหมายคำสัญญาต่ออนาคตอันสดใสของชาติ แต่ถ้าจะกล่าวตามคำนิยามที่ได้รับคำนิยมทั่วไปซึ่งกวีชื่อมาร์ติน ลิปป์ (Martin Lipp) ได้ให้ไว้ จะมีความหมายดังนี้

neg:
ธงชาติสาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตคารีโล-ฟินนิช
ในปี ค.ศ. 1947 ได้มีผู้ออกแบบธงสำหรับสาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตคารีโล-ฟินนิชขึ้นใหม่ โดยมีลักษณะเป็นธงแดงรูปค้อนเคียวและดาวแดง ใต้รูปดังกล่าวมีอักษรย่อ 2 แถว เป็นใจความว่า K.-S.S.N.T. และ К.-Ф.С.С.Р. ตอนล่างของธงมีแถบสีฟ้าขนาดใหญ่และแถบสีเขียวขนาดเล็กพาดผ่านตามแนวนอน ในแถบสีฟ้านั้นมีรูปต้นไม้ขนาดเล็กสีดำ 20 ต้น วางเรียงรายไปตามแถบนั้น ธงดังกล่าวแม้จะไม่มีการใช้จริง แต่ก็มีการสันนิษฐานว่าธงนี้อาจมีอิทธิพลในการออกแบบธงชาติแบบสุดท้ายใน ค.ศ. 1953 ก็ได้ เนื่องจากลักษณะรูปแบบของธงนั้นคล้ายคลึงกันมาก

neg:
ธงชาติทาจิกิสถาน
ธงชาติทาจิกิสถาน (, "/پرچم تاجیکستان") ประกาศใช้ธงผืนใหม่ของตนเองในวันที่ 18 พฤศจิกายน พ.ศ. 2535 และนับเป็นประเทศสุดท้ายในบรรดารัฐที่แยกตัวจากสหภาพโซเวียต ที่ประกาศใช้ธงชาติของตนเอง ลักษณะของธงเป็นธงสามสีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 1 ส่วน ยาว 2 ส่วน พื้นธงแบ่งเป็นแถบแนวนอน สีแดง-ขาว-เขียว มีอัตราส่วนความกว้างต่อแถบเป็น 1:2:1 กลางแถบสีขาวนั้น มีรูปมงกุฎล้อมด้วยดาวห้าแฉก 7 ดวง รูปเหล่านี้เป็นสีทอง

neg:
ธงชาติฟิลิปปินส์
สมาคมคาติปูนันได้กำหนดธงแบบใหม่ขึ้นในปี ค.ศ. 1897 ระหว่างการประชุมสมาชิกครั้งหนึ่งในเมืองนาอิก จังหวัดคาวิเต (Naic, Cavite) ธงแบบใหม่นี้เป็นธงพื้นสีแดง มีรูปดวงอาทิตย์ปรากฏใบหน้ามนุษย์สีขาว รูปดังกล่าวนั้นมีรัศมี 8 แฉก หมายถึงจังหวัดทั้งแปดซึ่งสเปนได้ประกาศใช้กฎอัยการศึกเพื่อปราบปรามผู้ที่ก่อการกบฏต่อสเปน

neg:
ธงชาติลิกเตนสไตน์
ธงชาติลิกเตนสไตน์ เป็นธงสองสี คือสีน้ำเงินและสีแดง แบ่งครึ่งตามแนวนอน มุมบนด้านคันธงมีรูปมงกุฏ สีน้ำเงินแทนท้องฟ้า สีแดงแทน "ไฟในตอนเย็น" ที่มีการจุดทั่วไปในบ้านเรือน ส่วนมงกุฏแทน "ความเป็นอันหนึ่งอันเดียวของประชาชนและองค์พระประมุข" สีของมงกุฏยังไม่เป็นที่แน่ชัด โดย "เดอะเวิลด์แฟกต์บุ๊ก" และรอยเตอร์สระบุว่าเป็นสีทอง ในขณะที่แหล่งอื่น เช่น สารานุกรมบริตานิการะบุว่าเป็นสีเหลือง

neg:
ธงชาติปารากวัย
ในแต่ละด้านของธงชาตินั้น เป็นพื้นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 3 ส่วน ยาว 5 ส่วน ภายในแบ่งพื้นเป็นแถบสามสี แต่ละแถบมีสีแดง ขาว และน้ำเงิน ทุกแถบกว้างเท่ากัน กลางแถบสีขาวของทั้งสองด้านนั้นมีรูปตราสัญลักษณ์ โดยที่ธงด้านหน้านั้นเป็นภาพตราแผ่นดินของปารากวัย กล่าวคือ เป็นรูปดาวห้าแฉกสีเหลือง ล้อมด้วยช่อใบไม้สีเขียวภายในกรอบวงกลมสีแดง ตามแนวกรอบวงกลมนั้นมีอักษรภาษาสเปนว่า "REPUBLICA DEL PARAGUAY" ("สาธารณรัฐปารากวัย") พื้นตรานั้นเป็นตรากลมสีขาวขอบสีดำ ส่วนด้านหลังนั้นเป็นตราสิงโตสีเหลืองยืนคุ้มกันหมวกเฟรเจียงสีแดง ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของเสรีภาพ เบื้องบนมีแพรแถบโค้งสีแดงบรรจุข้อความคำขวัญประจำชาติว่า "Paz y Justicia" ("สันติภาพและความยุติธรรม") ตรานี้อยู่ในวงกลมพื้นขาวขอบดำเช่นกัน

neg:
ธงชาติ
ธงชาติ คือธงที่แสดงถึงสัญลักษณ์ของประเทศและดินแดนต่าง ๆ ปกติแล้วรัฐบาลของประเทศต่าง ๆ ย่อมเป็นผู้กำหนดแบบธงชาติและข้อบังคับการใช้ธงชาติ หากแต่พลเมืองในแต่ละประเทศก็สามารถใช้ธงชาติในดินแดนของตนเองได้เช่นกัน โดยขึ้นอยู่กับข้อบังคับการใช้ธงตามที่รัฐบาลกำหนดไว้

neg:
ธงชาติหมู่เกาะฟอล์กแลนด์
ในช่วงสงครามหมู่เกาะฟอล์กแลนด์ ขณะที่อาร์เจนตินาเข้ายึดครองหมู่เกาะแห่งนี้ ได้มีการสั่งห้ามใช้ธงชาติตามแบบของสหราชอาณาจักร และชักธงชาติอาร์เจนตินาขึ้นใช้แทนที่ ปัจจุบันแม้ดินแดนแห่งนี้จะยังเป็นของสหราชอาณาจักร แต่อาร์เจนตินาก็ยังถือว่าหมู่เกาะฟอล์กแลนด์เป็นส่วนหนึ่งของจังหวัดเตียร์ราเดลฟวยโก และถือว่าธงประจำจังหวัดนี้เป็นธงของหมู่เกาะฟอล์กแลนด์ แม้จะไม่เคยมีการใช้ธงดังกล่าวในที่นี่เลยก็ตาม

neg:
ธงชาติเอธิโอเปีย
ธงชาติเอธิโอเปียในปัจจุบันเป็นธงที่เริ่มใช้อย่างเป็นทางการนับตั้งแต่วันที่ 6 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1996 มีลักษณะเป็นธงสามสีสามแถบแนวนอนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความกว้าง 1 ส่วน ยาว 2 ส่วน ภายในธงเรียงลำดับแถบสีเป็นสีเขียว สีเหลือง และสีแดง จากบนลงล่าง ที่กลางธงมีวงกลมสีฟ้า ภายในบรรจุรูปเฉลวดาวห้าแฉกสีเหลืองเปล่งรัศมีซึ่งใช้เป็นตราแผ่นดิน ประวัติของธงสามสีผืนนี้สามารถสืบย้อนไปได้ถึงในรัชสมัยของจักรพรรดิเมเนลิกที่ 2 แห่งเอธิโอเปีย (ค.ศ. 1889–1913) โดยการใช้ธงดังกล่าวเริ่มปรากฏครั้งแรกในปี ค.ศ. 1895 สำหรับธงชาติและตราแผ่นดินของเอธิโอเปียในปัจจุบันได้ประกาศใช้หลังสิ้นสุดการปกครองระบอบมาร์กซิสต์ของเมงกิสตู ไฮเล มาเรียม (Mengistu Haile Mariam) ซึ่งปกครองประเทศระหว่าง ค.ศ. 1974 - 1991

neg:
ประเทศฟินแลนด์
ฟินแลนด์มีประชากรประมาณ 5 ล้านคน และมีความหนาแน่นของประชากรอยู่ที่ราว 17 คนต่อตารางกิโลเมตร ประชากรของฟินแลนด์กระจุกตัวอยู่ทางตอนใต้ของประเทศ ในจังหวัดอูซิมาซึ่งเป็นที่ตั้งของเมืองหลวงมีความหนาแน่น 30 คนต่อตารางกิโลเมตร (ในส่วนของตัวเมืองเฮลซิงกิมีความหนาแน่นถึงสามพันคนต่อตารางกิโลเมตร) ในขณะที่ทางตอนเหนือในเขตแลปแลนด์ มีประชากรเพียงสองคนต่อตารางกิโลเมตรเท่านั้น เมืองใหญ่อื่นๆนอกจากในเขตมหานครเฮลซิงกิ (ซึ่งรวมถึงเมืองวันตาและเอสโป) ได้แก่ตัมเปเร ตุรกุ และโอวลุ

neg:
ธงประจำรัฐฮาวาย
ธงทางราชการของรัฐฮาวายมี 2 สี คือ สีแดง และสีน้ำเงิน ตรงกลางของธงมีดาวสีขาว 8 ดวง และมีตัวอักษรสีขาวตรงกลาง (ที่ดาวล้อมรอบ) คำว่า "HAWAII" ในตอนที่รัฐฮาวายเป็นรัฐของสหรัฐอเมริกา ส่วนตัวอักษร "TH" สำหรับตอนรับรองเป็น "อาณาเขตของรัฐฮาวาย" ในปี ค.ศ. 1959".

neg:
ธงประจำหมู่เกาะออร์คนีย์
ธงใหม่ของออร์คนีย์นี้มีลักษณะคล้ายกับธงชาตินอร์เวย์ (กางเขนสีน้ำเงินขอบขาว) และธงชาติโอลันด์ (ใช้สีในธงที่แตกต่างกัน)

neg:
ธงชาติไทย
ธงช้างเผือกเปล่าได้ใช้เป็นธงชาติสยามสืบมาจนกระทั่งในปี พ.ศ. 2459 เมื่อพระบาทสมเด็จพระมงกุฎเกล้าเจ้าอยู่หัว รัชกาลที่ 6 ได้เสด็จพระราชดำเนินไปยังเมืองอุทัยธานี ซึ่งขณะนั้นประสบเหตุอุทกภัยและทอดพระเนตรเห็นธงช้างของราษฎรซึ่งตั้งใจรอรับเสด็จไว้ถูกติดกลับหัว เนื่องจากในยุคนั้นธงช้างถือว่าเป็นของหายาก มีราคาแพง เพราะต้องสั่งทำจากต่างประเทศ อีกทั้งธงช้างที่มีขายบางแบบนั้นผลิตมาจากประเทศที่ไม่รู้จักช้าง รูปร่างของช้างที่ปรากฏจึงไม่น่าดู และหากผู้ใช้ประมาทชักธงช้างกลับด้าน ก็จะกลายเป็นที่เสื่อมเสียแก่พระเกียรติยศ พระองค์ทรงมีพระราชดำริว่า ธงชาติต้องมีรูปแบบที่สมมาตร และราษฎรสามารถทำใช้เองได้จากวัสดุภายในประเทศ เพื่อมิให้เกิดปัญหาดังกล่าวขึ้นอีกต่อไป จึงทรงพระกรุณาโปรดเกล้าฯ ให้เปลี่ยนรูปแบบธงชาติ เป็นธงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีแถบยาวสีแดง 3 แถบ สลับกับแถบสีขาว 2 แถบ ซึ่งเหมือนกับธงชาติไทยในปัจจุบัน แต่มีเพียงสีแดงสีเดียว ซึ่งธงนี้เรียกว่า "ธงแดงขาว 5 ริ้ว" (ชื่อในเอกสารราชการเรียกว่า "ธงค้าขาย") ทั้งนี้ สำหรับหน่วยงานราชการของรัฐบาลสยามยังคงใช้ธงช้างเผือกเป็นสัญลักษณ์ แต่ใช้รูปช้างเผือกแบบทรงเครื่องยืนแท่น ซึ่งแต่เดิมธงนี้เป็นธงสำหรับเรือหลวงมาตั้งแต่ พ.ศ. 2440 และมีฐานะเป็นธงราชการอยู่ก่อนแล้วตั้งแต่ พ.ศ. 2453

neg:
ธงชาติไอซ์แลนด์
ธงชาติไอซ์แลนด์ () มีรูปแบบคล้ายธงชาติกลุ่มประเทศสแกนดิเนเวีย คือ มีรูปกางเขนอยู่ในธงชาติ รูปกางเขนแดงในธงชาติไอซ์แลนด์สะท้อนให้เห็นถึงอดีตที่เคยเป็นอาณานิคมของประเทศเดนมาร์ก และ ศาสนาคริสต์ ธงชาติสำหรับใช้ทั่วไปนั้นเป็นธงสี่เหลี่ยมผืนผ้า ส่วนธงราชการและธงทหารนั้น มีลักษณะคล้ายธงชาติ แต่ด้านปลายธงตัดเป็นหางนกแซงแซว 2 แฉก หากธงดังกล่าวมีตราแผ่นดินอยู่ตรงกลางเครื่องหมายกากบาทนั้น แสดงว่าเป็นธงประจำตำแหน่งประธานาธิบดี

neg:
ธงชาติเยอรมนี
*

neg:
ธงชาติฝรั่งเศส
ธงนี้ถือเป็นสัญลักษณ์ประจำชาติฝรั่งเศส ตามมาตรา 2 แห่งรัฐธรรมนูญสาธารณรัฐฝรั่งเศส พ.ศ. 2501 ส่วนสีธงชาติแบบมาตรฐานนั้น กำหนดขึ้นในสมัยที่นายวาเลรี ยิสการ์ด เดส์แตง เป็นประธานาธิบดีฝรั่งเศส ดังนี้

neg:
ธงชาติอินเดีย
ธงชาติสาธารณรัฐอินเดีย หรือ ติรังคา () คำนี้เป็นคำเดียวกับคำว่า "ไตรรงค์" ซึ่งเป็นชื่ออีกอย่างของธงชาติไทย แปลว่า "สามสี" เป็นธงสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 2 ส่วน ยาว 3 ส่วน ภายในแบ่งเป็นแถบ 3 สี ตามแนวนอน ได้แก่ สีแสด สีขาว สีเขียว เรียงลำดับจากบนลงล่าง กลางแถบสีขาวมีรูปธรรมจักรของพระเจ้าอโศกมหาราชสีน้ำเงิน ภายในแบ่งกำเป็น 24 ซี่ วงธรรมจักรนั้นกว้างเป็น 3 ใน 4 ของความกว้างแถบสีขาว

neg:
ธงชาติวานูอาตู
ธงชาติวานูอาตู เป็นธงสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 19 ส่วน ยาว 36 ส่วน ภายในแบ่งเป็นสามส่วนด้วยแนวเส้นแบ่งรูปตัว "Y" สีเหลืองขอบดำตามแนวนอน ครึ่งบนของธงเป็นพื้นสีแดง ครึ่งล่างเป็นพื้นสีเขียว ที่พื้นช่องสามเหลี่ยมด้านคันธงเป็นพื้นสีดำ มีรูปใบเฟิร์นนาเมลี (namele) สองใบไขว้กันในวงเขี้ยวหมูป่า ธงนี้ประกาศใช้เมื่อวันที่ 13 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2523 โดยเป็นแบบธงที่ออกแบบโดยศิลปินในประเทศและได้รับเลือกจากรัฐสภาในขั้นสุดท้าย

neg:
ธงชาติโปรตุเกส
ธงชาติโปรตุเกส มีลักษณะเป็นธงสองสีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 2 ส่วน ยาว 3 ส่วน ภายในแบ่งเป็นสองแถบตามแนวตั้ง ด้านคันธงเป็นพื้นสีแดง กว้าง 2 ใน 5 แห่งด้านยาว ด้านปลายธงกว้างเป็น 3 ใน 5 ส่วนแห่งด้านยาว พื้นสีเขียว กลางแนวแบ่งแถบสีธงนั้นมีภาพตราแผ่นดินของโปรตุเกสอย่างย่อ ซึ่งเป็นรูป Armillary sphere อันเป็นอุปกรณ์อย่างหนึ่งในทางวิชาดาราศาสตร์ และตราโล่แห่งโปรตุเกสซ้อนทับกัน ประเทศโปรตุเกสได้ประกาศใช้ธงนี้เป็นธงชาติอย่างเป็นทางการเมื่อวันที่ 30 มิถุนายน พ.ศ. 2454 โดยเป็นแบบธงที่ได้รับคัดเลือกจากคณะกรรมการสรรหาธงชาติโปรตุเกส เพื่อนำมาใช้แทนที่ธงชาติในระบอบราชาธิปไตยภายใต้รัฐธรรมนูญ

neg:
ธงชาติสาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตเอสโตเนีย
ธงชาติสาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตเอสโตเนีย ประกาศใช้โดยสาธารัฐสังคมนิยมโซเวียตเอสโตเนีย เมื่อวันที่ 6 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2496 ธงพื้นสีแดง ที่มุมบนธงมีรูปค้อนเคียวกับดาวแดงขอบเหลือง มีแถบคลื่นซึ่งปลายแหลมของคลื่นชี้ขึ้นบน โดยสีนำงินโดยมีแถบเล็กสีขาว-นำเงิน-ขาว วางซ้อน ซึ่งแถบสีวางที่ด้านล่างธง.

neg:
ธงชาติบอสเนียและเฮอร์เซโกวีนา
ธงชาติบอสเนียและเฮอร์เซโกวีนา เป็นธงพื้นสีน้ำเงิน ภายในมีสามเหลี่ยมสีเหลืองที่ด้านมุมฉากอยู่ด้านบนธง ด้านตรงข้ามมุมฉากประดับด้วยดาวห้าแฉกสีขาวเต็มดวง 7 ดวง ส่วนปลายของด้านตรงข้ามมุมฉากทั้งสองด้านมีดาวห้าแฉกสีขาวครึ่งดวง 2 ดวง โดยสามเหลี่ยมแทนกลุ่มชนหลักสามกลุ่มในประเทศ ได้แก่ ชาวบอสนีแอก, ชาวโครแอตและชาวเซิร์บ นอกจากนี้ยังใช้แทนดินแดนของบอสเนียและเฮอร์เซโกวีนาที่มีรูปร่างคล้ายสามเหลี่ยม ดาวแทนทวีปยุโรปและการเรียงตัวของดาวแทนจำนวนที่ไม่สิ้นสุด สีน้ำเงินและสีเหลืองมาจากธงยุโรปที่ใช้ในสภายุโรปและสหภาพยุโรป สีของธง 3 สีคือขาว, น้ำเงินและเหลืองแทนความเป็นกลางและสันติภาพ

neg:
ธงชาติไมโครนีเซีย
ธงชาติไมโครนีเซีย ประกาศใช้เมื่อวันที่ 30 พฤศจิกายน ค.ศ. 1978 เป็นธงพื้นสีฟ้า ประดับด้วยดาวห้าแฉก 4 ดวง เรียงตัวเป็นรูปข้าวหลามตัดตรงกลาง โดยพื้นธงสีฟ้าแทนมหาสมุทรแปซิฟิก ดาว 4 ดวงแทนรัฐ 4 รัฐของไมโครนีเซีย

neg:
ประเทศฟินแลนด์
การจารึกตัวอักษรของชาวฟินแลนด์ปรากฏพบเห็นนับแต่ยุคที่มิคาเอล อกริโคลา แปลหนังสือพระคริสต์ธรรมคัมภีร์ ภาคพันธสัญญาใหม่ไปเป็นภาษาฟินแลนด์ในราวคริสต์ศตวรรษที่ 16 ซึ่งเป็นยุคก่อตั้งนิกายโปรเตสแตนต์ แต่กลับไม่พบเห็นงานเขียนอื่นๆ มากนักจนกระทั่งคริสต์ศตวรรษที่ 19 เอเลียส เลินน์รูต ได้รวบรวมบทกวีพื้นบ้านของฟินแลนด์และคาเรเลีย เรียบเรียงเข้าด้วยกันและนำเสนอเป็นผลงานชื่อ "กาเลวาลา" อันเป็นมหากาพย์แห่งชาติของฟินแลนด์ หลังจากยุคนั้นจึงมีกวีและนักเขียนเพิ่มมากขึ้น ที่มีชื่อเสียงเช่น อะเลกซิส กิวิ และ เอย์โน เลย์โน นักเขียนชาวฟินแลนด์ชื่อ ฟรันส์ เอมิล ซิลลันแป ได้รับรางวัลโนเบลสาขาวรรณกรรมในปี พ.ศ. 2482 และเป็นชาวฟินแลนด์ผู้เดียวที่ได้รับรางวัลนี้นับถึงปัจจุบัน

neg:
ธงชาติสาธารณรัฐมาซิโดเนีย
ธงชาติสาธารณรัฐมาซิโดเนีย เป็นธงพื้นสีแดง กลางธงเป็นรูปพระอาทิตย์เปล่งรัศมีแปดทิศจดขอบธงชาติ รูปเหล่านี้เป็นสีเหลือง สัญลักษณ์ในธงดังที่กล่าวมามีความหมายว่า "ดวงตะวันดวงใหม่แห่งเสรีภาพ" ดังปรากฏวลีนี้ในบทแรกของเพลงชาติมาซีโดเนียในปัจจุบัน ซึ่งมีชื่อว่า ""Denes nad Makedonija"" (แปลว่า "วันนี้ทั่วแผ่นดินมาซีโดเนีย") ดังนี้ในช่วงปี พ.ศ. 2487 - 2535 มาซิโดเนียมีฐานะเป็นสาธารณรัฐสังคมนิยมภายใต้การปกครองของสหพันธ์สาธารณรัฐสังคมนิยมยูโกสลาเวีย ธงชาติมีลักษณะเป็นธงสีแดงเกลี้ยงมีรูปดาวแดงขอบสีทองที่มุมธงบนด้านคันธง

neg:
ธงชาติโปรตุเกส
สีของธงอย่างใหม่โดยเฉพาะสีเขียวนั้นไม่ใช่สีอย่างที่เคยใช้ในธงชาติโปรตุเกสในอดีต และเป็นการแสดงออกถีงแรงบันดาลในจากแนวคิดสาธารณรัฐ ซึ่งต้องการทำลายความเชื่อมโยงกับระบอบกษัตริย์ที่อิงกับศาสนจักรของโปรตุเกสในอดีตลง หลังเหตุการณ์จลาจลจากกลุ่มนิยมสาธารณรัฐในวันที่ 31 มกราคม พ.ศ. 2434 ล้มเหลวลง สีเขียวและสีแดงก็ได้กลายเป็นสีของพรรคนิยมสาธารณรัฐโปรตุเกส (Portuguese Republican Party) และขบวนการเคลื่อนไหวที่เกี่ยวข้อง ซึ่งคงทำการเคลื่อนไหวทางการเมืองต่อมาจนกระทั่งสามารถก่อการปฏิวัติสำเร็จในวันที่ 5 ตุลาคม พ.ศ. 2454 ในช่วงทศวรรษต่อมา สีทั้งสองสีได้รับการเผยแพร่โดยทั่วไปว่าเป็นสีแห่งความหวังของชาติ (สีเขียว) และสีของเลือดของผู้ที่ยอมตายเพื่อปกป้องชาติ (สีแดง) ในฐานะเป็นเครื่องมือแสดงออกถึงความรักชาติและความหยิ่งในเกียรติของชาวโปรตุเกส

neg:
ธง
ธงชาติ คือ ธงที่ใช้เป็นสัญลักษณ์ของรัฐชาติต่างๆ ซึ่งบรรจุความหมายของความเป็นชาติ หรืออุดมการณ์ของรัฐ หรือสิ่งที่เป็นของดีประจำชาติไว้ภายใน ธงนี้เป็นธงที่ใช้กันแพร่หลายที่สุดในทุกๆ ประเทศ เพราะประชาชนในรัฐชาติสามารถจัดหามาไว้เองได้ทั่วไปหากต้องการแสดงความเป็นชาติของตนเอง

neg:
ธงชาติไนเจอร์
ธงชาติไนเจอร์ เป็นธงสามสีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นธงแบ่งเป็น 3 แถบตามแนวนอน แต่ละแถบนั้นกว้างเท่ากัน โดยแถบบนมีสีส้ม แถบกลางเป็นสีขาว และแถบล่างคือสีเขียว กลางแถบสีขาวเป็นดวงกลมสีส้ม ลักษณะของธงนี้ได้รับอิทธิพลจากธงชาติฝรั่งเศส ซึ่งเป็นชาติเจ้าอาณานิคมเดิม เช่นเดียวกับธงของหลายประเทศที่เคยเป็นเมืองขึ้นของฝรั่งเศส

neg:
ธงชาติไซปรัส
ลักษณะของธงชาติไซปรัสเป็นรูปแผนที่ของเกาะไซปรัสทั้งหมด รองรับด้วยช่อมะกอกสองช่อบนพื้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีขาวอันเป็นสัญลักษณ์ของสันติภาพ ส่วนช่อมะกอกคู่นอกจากจะหมายถึงสันติภาพโดยทั่วไปแล้ว ยังมีความหมายเฉพาะเจาะจงถึงสันติภาพระหว่างชาวเติร์กและชาวกรีก ซึ่งเป็นประชากรสองกลุ่มใหญ่ของประเทศ สีของแผนที่เกาะไซปรัสนั้นเป็นสีเหลืองทองแดง มีความหมายถึงแร่ทองแดงซึ่งเป็นทรัพยากรที่มีอยู่มากภายในเกาะ (โดยหลักแล้วมักอยู่ในรูปของชาลโคไพไรต์ (chalcopyrite) ซึ่งมีสีเหลือง) อันเป็นที่มาแห่งนามของเกาะนี้

neg:
ภาษาฟินแลนด์
การเขียนภาษาฟินแลนด์ ใช้ตัวอักษรละตินซึ่งประกอบด้วย29ดังนี้
A-อา B-เบ C-เซ D-เด E-เอ F-แอฟ G-เก H-โฮ I-อี J-ยี K-โก L-แอล M-แอม N-แอน O-โอ P-เป Q-กู R-แอรฺ S-แอส T-เต U-อู V-เว W-กักโชยส์-เว (Kaksois-Vee) X-แอกซ์ Y-อวี Z-เซตตา Å-โอของสวีเดน (Ruotsin-Oo) Ä-แอ Ö-เออวฺ

neg:
ธงชาติสโลวาเกีย
ธงชาติสโลวาเกีย () นับย้อนไปในปี พ.ศ. 2391 ซึ่งเป็นปีของการปฏิวัติในยุโรปและเป็นเวลาที่ชนเผ่าสลาฟได้กำหนดบทบาทของตนเองจากการปกครองของจักรวรรดิออสเตรีย-ฮังการี และออกแบบธงชาติ 3 สี ขาว และแดงเป็นธงประจำชาติของตน สโลวาเกียได้ใช้ธงชาติ 3 สีโบกสะบัดเมื่อประเทศได้รับอิสรภาพ ต่อมาเมื่อแยกตัวออกจากเชโกสโลวาเกียในเดือนมกราคม พ.ศ. 2536 สโลวาเกียจึงกำหนดให้มีตราแผ่นดินอยู่ในธงชาติด้วยเพื่อให้แตกต่างกับธงชาติรัสเซีย ตราแผ่นดินนี้เป็นรูปไม้กางเขน 2 ชั้น ปักอยู่บนภูเขาลูกกลาง ในจำนวนภูเขา 3 ลูก

neg:
ธงชาติญี่ปุ่น
ธงชาติญี่ปุ่น () หรือรู้จักในชื่อ นิชโชกิ () หรือชื่อ ฮิโนมารุ () เป็นธงประจำชาติของประเทศญี่ปุ่น มีลักษณะเป็นธงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นสีขาว กึ่งกลางธงเป็นรูปวงกลมสีแดง หมายถึง พระอาทิตย์

neg:
ธงชาติกินี
สีในธงนี้เป็นสีพันธมิตรแอฟริกา โดยมีที่มาจากสีของขบวนการ Rassemblement Democratique Africaine ซึ่งเป็นขบวนการเรียกร้องเอกราชของกินี ส่วนเหตุที่เรียงแถบสีตามแนวตั้ง ก็เพื่อให้ต่างจากธงชาติกานาซึ่งประกาศใช้ธงสามสีเช่นนี้ก่อนในปี พ.ศ. 2500 โดยแถบสีธงในนั้นเรียงกันตามแนวนอน ส่วนธงที่คล้ายกับธงชาติกินีที่สุดคือธงชาติมาลี ซึ่งใช้สีธงและเรียงแถบสีธงในลักษณะเดียวกัน เว้นแต่ว่าลำดับแถบสีธงนั้นจะเป็นสีเขียว สีเหลือง และสีแดง

neg:
ธงชาติเซนต์วินเซนต์และเกรนาดีนส์
สีฟ้าในธง หมายถึงผืนฟ้าและท้องทะเลสีคราม สีทองหมายถึงความอบอุ่น จิตวิญญาณอันเจิดจ้าของปวงชน และผืนทรายสีทองในหมู่เกาะเกรนาดีนส์ สีเขียวหมายถึงพืชพรรณที่เขียวชอุ่มจากการเกษตรกรรมทั่วเกาะเซนต์วินเซนต์ และพลังแห่งความอดทนของประชาชน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 3 รูป ซึ่งเรียงกันเป็นรูปตัว "V" คืออักษรตัวแรกของคำว่าเซนต์วินเซนต์ (St. Vincent) หมายถึง ความหลากหลายทางธรรมชาติในหมู่เกาะนี้ จนประเทศนี้ได้ชื่อว่าเป็นอัญมณีแห่งหมู่เกาะแอนทิลลิส (the Antilles) โดยเหตุดังกล่าว ทำให้ธงนี้มีอีกชื่อหนึ่งว่า "ธงอัญมณี" ("The gems")

neg:
ธงชาติโรมาเนีย
ลักษณะของธงดังกล่าวนี้พ้องกันอย่างยิ่งกับธงพลเรือนของอันดอร์ราและธงราชการของประเทศชาด โดยเฉพาะกรณีธงชาติของประเทศชาดนั้นต่างกันกับธงของโรมาเนียเพียงว่าประเทศชาดใช้โทนสีน้ำเงินที่เข้มกว่าของโรมาเนียเท่านั้น ความคล้ายคลึงดังกล่าวได้นำไปสู่การอภิปรายเรื่องนี้ในระดับนานาชาติ โดยในปี ค.ศ. 2004 ประเทศชาดได้ร้องขอให้องค์การสหประชาชาติวินิจฉัยในข้อปัญหาดังกล่าว แต่ประธานาธิบดีอีออน อีลีเอสคู (Ion Iliescu) ได้ประกาศในเวลาต่อมาว่าจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ แก่ธงชาติโรมาเนีย ธงอีกธงหนึ่งที่สัมพันธ์กับธงชาติโรมาเนียคือธงชาติมอลโดวา ซึ่งใช้พื้นสีธงแบบเดียวกับของโรมาเนีย แต่สัดส่วนความกว้างต่อความยาวของธงเป็น 1:2 มีใช้สีน้ำเงินในโทนที่อ่อนกว่าของโรมาเนีย และมีดวงตราแผ่นดินของมอลโดวาที่กลางธง

neg:
ธงชาติเวลส์
ธงชาติเวลส์ ใช้ธงแถบเขียวขาว เป็นสีประจำชาติของแคว้นเวลส์ซึ่งมาจากลีเวลลินล์ แห่งราชวงศ์ทิวดอร์ โดยเรียงแถบสีดังนี้คือ แถบบน สีขาว และ แถบล่าง สีเขียว ตรงกลางผืนธงมีรูปตรามังกรสีแดง

neg:
กาเลวาลา
มาร์คู เนียมิเนน (Marku Nieminen) ผู้อำนวยการสถาบันกาเลวาลาแห่งฟินแลนด์ หรือ จูมินเกโก กล่าวถึงอิทธิพลของ "กาเลวาลา" ว่า "หากมิใช่เพราะกาเลวาลา ฟินแลนด์คงไม่มีทางได้รับเอกราช และคงไม่มีภาษาเป็นของตัวเอง เราคงต้องใช้ภาษารัสเซียหรือภาษาสวีดิชแทน" ราวต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ฟินแลนด์ยังตกอยู่ใต้การปกครองของรัสเซีย โดยที่ซาร์แห่งรัสเซีย ดำรงตำแหน่งแกรนด์ดยุคแห่งฟินแลนด์ด้วย แต่หลังจากที่รัสเซียเปลี่ยนแปลงการปกครองไปสู่ระบอบคอมมิวนิสต์ ตามมาด้วยความยุ่งเหยิงระหว่างสงครามโลกครั้งที่หนึ่งซึ่งชาวฟินแลนด์ต้องส่งทหารไปร่วมรบในบอลติกด้วย ฟินแลนด์เริ่มตื่นตัวและพยายามประกาศตัวเป็นเอกราช มีความเคลื่อนไหวทางวัฒนธรรมครั้งใหญ่ในฟินแลนด์ในคริสต์ศตวรรษที่ 19 นักวิชาการ นักปรัชญา กวีและนักประพันธ์หลายคนต่างมีบทบาทสำคัญ เช่น เจ. แอล. รูนเบิร์ก นักกวี; เจ. วี. สเนลล์แมน รัฐบุรุษและนักปรัชญา ผู้ชูประเด็นความเป็นเอกลักษณ์ของภาษาฟินแลนด์ รวมถึงนักภาษาศาสตร์ เอเลียส เลินน์รูต ผู้เรียบเรียงงานมหากาพย์ "กาเลวาลา" โดยที่ "กาเลวาลา" เป็นงานที่ได้รับเกียรติว่าไม่เพียงเป็นตำนานของชนท้องถิ่นแถบนั้น แต่เป็น "สัญลักษณ์" และได้รับยกย่องให้เป็น "มหากาพย์แห่งชาติ" ของฟินแลนด์ "กาเลวาลา" จึงมีอิทธิพลต่อวัฒนธรรมและประวัติศาสตร์ของประเทศฟินแลนด์มาก ปรากฏผลงานสืบเนื่องอยู่มากมายในฟินแลนด์ ตั้งแต่ดนตรีไปจนถึงงานศิลปะ นอกจากนี้ยังส่งผลต่อวัฒนธรรมอื่นๆ นอกประเทศฟินแลนด์ด้วยเช่นกัน มากน้อยแตกต่างกันไป

neg:
พระบาทสมเด็จพระพุทธเลิศหล้านภาลัย
กรุงสยามมีการเปลี่ยนธงประจำชาติ จากธงแดง เป็นธงช้าง มีลักษณะพื้นสีแดง ตรงกลางเป็นวงกลมสีขาว มีรูปช้างเผือกสีขาวภายในวงกลม แต่เมื่อจะใช้ชักเป็นธงบนเรือสินค้า ให้งดวงกลมออกเสีย เหลือแต่รูปช้างเผือกสีขาวเท่านั้น ดังนั้น บันทึกที่พบในต่างประเทศจึงระบุว่ากรุงสยาม ใช้ธงประจำชาติเป็นรูปช้างเผือกสีขาวบนพื้นแดง ดูเรื่อง ธงชาติไทย

neg:
ธงชาติฟินแลนด์
กฎหมายฟินแลนด์มีการควบคุมเกี่ยวกับธงหลายอย่าง เช่น ห้ามการขีดเขียนเล่นหรือนำไปใช้ในทางที่ไม่เคารพ ห้ามนำธงออกจากเสาโดยไม่ได้รับอนุญาต การใช้ธงของรัฐหรือประธานาธิบดีโดยไม่ได้รับอนุญาต การเพิ่มเติมสัญลักษณ์บนธง รวมถึงการขายธงชาติที่เพี้ยนไปจากรูปร่างและสีที่ระบุตามกฎหมาย การละเมิดกฎเหล่านี้อาจมีโทษปรับได้

neg:
ธงกรีนแลนด์
ในปี ค.ศ. 1973 ชาวกรีนแลนด์ห้าคนได้เสนอแบบธงชาติเป็นครั้งแรก แต่คนส่วนใหญ่ยังพอใจกับการใช้ธงชาติเดนมาร์ก ต่อมาในปี ค.ศ. 1978 เดนมาร์กให้สิทธิ์ในการปกครองตัวเองแก่กรีนแลนด์ จึงมีการจัดให้เสนอแบบธง แบบธงของทิว เครสเตินเซินได้รับเลือกจากเสียงส่วนใหญ่ ธงของเครสเตินเซินเป็นเป็นธงสีขาวและแดง ใกล้กับด้านคันธงมีวงกลมที่ครึ่งบนเป็นสีแดง ครึ่งล่างเป็นสีขาว โดยสีขาวในช่องสี่เหลี่ยมแทนชั้นน้ำแข็ง สีแดงในวงกลมแทนดวงอาทิตย์ สีขาวในวงกลมแทนภูเขาน้ำแข็ง และสีแดงในช่องสีเหลี่ยมแทนมหาสมุทร สีแดงที่ใช้บนธงเป็นสีแดงเดียวกับที่ใช้บนธงชาติเดนมาร์ก เพื่อแสดงถึงการเป็นส่วนหนึ่งของราชอาณาจักรเดนมาร์ก

neg:
ธงชาติเนเธอร์แลนด์
ธงชาติเนเธอร์แลนด์ () เป็นธงสามสีสามแถบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สัดส่วนโดยรวมกว้าง 2 ส่วน ยาว 3 ส่วน ภายในเรียงเป็นแถบสีสีแดง สีขาว และสีน้ำเงินตามลำดับจากบนลงล่าง เริ่มใช้ครั้งแรกเมื่อปี พ.ศ. 2115 แต่ได้กำหนดให้เป็นธงชาติของประเทศเนเธอร์แลนด์อย่างเป็นทางการมาในปี พ.ศ. 2480 ธงนี้นับเป็นธงสามสีธงแรกของโลกและเป็นธงสามสีที่เก่าแก่ที่สุดซึ่งยังคงใช้อยู่ในปัจจุบัน ทั้งยังเป็นต้นแบบของธงชาติต่างๆ ที่ใช้สีธงหลักเป็น 3 สีในโลกนี้ด้วย

neg:
ธงชาติไอร์แลนด์
ธงชาติสาธารณรัฐไอร์แลนด์ ( / "suaitheantas na hÉireann") เป็นธงสามสีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นธงแบ่งแถบสีตามแนวตั้ง แต่ละแถบมีขนาดเท่ากัน เรียงตามลำดับ คือ สีเขียว สีขาว และสีแสด ธงนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อ "ธงไตรรงค์ไอริช" หรือที่เรียกในภาษาอังกฤษว่า "Irish tricolour" สัดส่วนของธงกว้าง 1 ส่วน ยาว 2 ส่วน โดยทางการแล้ว ความหมายของธงไชาติไอร์แลนด์มิได้มีการบัญญัติไว้ในรัฐธรรมนูญแห่งสาธารณรัฐ แต่โดยทั่วไปแล้ว ได้มีนิยามความหมายของธงไว้ว่า สีเขียวคือสีแห่งความเป็นชาตินิยมของชาวไอริชตามธรรมเนียมปฏิบัติ สีแสดเป็นสีของกลุ่มออเรนจ์อินสติติวชั่น (Orange Institution) ซึ่งเป็นชื่อขององค์กรศาสนาคริสต์นิกายโปรแตสแตนท์แห่งหนึ่งที่มีบทบาทสำคัญในทางการเมืองของไอร์แลนด์ ส่วนสีขาวซึ่งแทรกอยู่ระหว่างสีทั้งสองถือเป็นสัญลักษณ์แห่งสันติภาพ สีขาวที่กลางธงนี้ยังอาจหมายถึงการสงบศึกครั้งสุดท้ายระหว่างฝ่ายสีเหลืองกับฝ่ายสีแสดก็ได้

neg:
ประเทศฟินแลนด์
รัฐธรรมนูญของประเทศฟินแลนด์ ฉบับแรกมีใช้เมื่อ พ.ศ. 2462 ไม่นานหลังจากประกาศอิสรภาพจากรัสเซีย และไม่มีการแก้ไขรัฐธรรมนูญตลอด 50 ปีแรกของการใช้รัฐธรรมนูญ การปฏิรูปรัฐธรรมนูญครั้งสำคัญเริ่มในปี พ.ศ. 2526 หลังจากนั้นก็มีการเปลี่ยนแปลงหลายครั้ง รวมถึงการเริ่มใช้ระบบเลือกตั้งประธาธิบดีโดยตรง

neg:
ธงชาติมาเลเซีย
แถบริ้วสีแดงและสีขาวทั้ง 14 ริ้วซึ่งมีความกว้างเท่ากัน หมายถึงสถานะอันเสมอภาคของรัฐสมาชิกทั้ง 13 รัฐ และรัฐบาลกลางที่กัวลาลัมเปอร์ ดาว 14 แฉกหมายถึงความเป็นเอกภาพในหมู่รัฐดังกล่าวทั้งหมด พระจันทร์เสี้ยวหมายถึงศาสนาอิสลามอันเป็นศาสนาประจำชาติ สีเหลืองในพระจันทร์เสี้ยวและดาราสหพันธ์คือสีแห่งยังดี เปอร์ตวน อากง ผู้เป็นประมุขแห่งสหพันธรัฐ ส่วนสีน้ำเงินนั้นหมายถึงความสามัคคีของชาวมาเลเซีย

neg:
ธงชาติโปแลนด์
ธงชาติของประเทศโปแลนด์ ประกอบด้วยแถบแนวนอนสองสีขนาดกว้างเท่ากัน โดยแถบบนเป็นสีขาว แถบล่างเป็นสีแดง สีทั้งสองนี้ถือเป็นสีประจำชาติตามที่บัญญัติไว้ในรัฐธรรมนูญแห่งสาธารณรัฐโปแลนด์ สำหรับธงชาติโปแลนด์ที่มีการเพิ่มเครื่องหมายตราแผ่นดินลงที่กลางแถบขาวของธงถือเป็นธงชาติสำหรับใช้ในทางราชการตามกฎหมายทั้งในต่างประเทศและในเรือเดินทะเลของรัฐ ส่วนธงอีกอย่างหนึ่งที่คล้ายคลึงกับธงในราชการแต่มีการตัดชายธงเป็นรูปหางนกแซงแซวนั้นเป็นธงนาวีสำหรับกองทัพเรือโปแลนด์

neg:
ธงชาติโอลันด์
ธงชาติโอลันด์ ได้ประกาศใช้อย่างเป็นทางการเมื่อวันที่ 7 เมษายน พ.ศ. 2497 ซึ่งธงผืนนี้ต้องใช้บนเกาะโอลันด์โดยเฉพาะ ธงผืนนี้เป็นธงกากบาทแห่งสแกนดิเนเวีย ซึ่งรูปแบบคล้ายธงชาติสวีเดน แต่มีความแตกต่างตรงที่ พื้นธงสีฟ้าจางอ่อน กากบาทใหญ่สีเหลืองอ่อน และ กากบาทเล็กสีแดง. ส่วนธงชาติเรือยอชต์ มีลักษณะเดียวกันกับธงชาติ แต่ที่ปลายธงตัดเป็นหางนกแซงแซว2แฉกที่มุมบนคันธงในพื้นสี่เหลี่ยมสีฟ้ามีตราของชมรมเรือยอชต์วาง. ซึ่งสีของธงนี้มาจากตราแผ่นดินประจำหมู่เกาะแห่งนี้ เป็นตรากวางสีเหลืองบนพื้นโล่สีฟ้า แต่ละส่วนมีความหมายดังนี้คือ

neg:
ธงชาติเม็กซิโก
ธงชาติสหรัฐเม็กซิโก มีลักษณะเป็นธงสามสีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบ่งตามแนวตั้ง ประกอบด้วย สีเขียว สีขาว และสีแดง ซึ่งมีความคล้ายคลึงกับธงชาติอิตาลี แต่จะต่างกันที่สีของธงชาติ ธงชาติเม็กซิโกนั้นมีสีเข้มกว่าธงชาติอิตาลีอย่างเห็นได้ชัด, ธงชาติเม็กซิโกจะมีตราแผ่นดินของเม็กซิโกอยู่กลางแถบสีขาวและต่างกันที่สัดส่วนของธง

neg:
ธงชาติโรมาเนีย
กฎหมายว่าด้วยธงของโรมาเนียได้ระบุถึงระดับของสีธงชาติไว้ชัดเจนว่า สีน้ำเงินใช้สี cobalt blue สีเหลืองใช้สี chrome yellow และสีแดงใช้สี vermilion red ซึ่งในหนังสือ "Album des pavillons nationaux et des marques distinctives" (2000) ได้เทียบสีไว้ด้วยระบบสี Pantone ดังนี้

neg:
ธงชาติเอสโตเนีย
ธงชาติเอสโตเนีย เป็นธงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 7 ส่วน ยาว 11 ส่วน พื้นธงแบ่งเป็นแถบแนวนอน 3 แถบ แต่ละแถบนั้นกว้างเท่ากัน เรียงเป็นแถบสีฟ้า สีดำ และสีขาวจากบนลงล่าง (ธงชาติเอสโตเนียขนาดมาตรฐานนั้นกว้าง 105 เซนติเมตร ยาว 165 เซนติเมตร) ธงนี้มีชื่อเรียกเฉพาะในภาษาเอสโตเนียว่า ""sinimustvalge"" แปลว่า "ธงฟ้า-ดำ-ขาว" ตามสีที่ปรากฏบนธงชาติ

neg:
ธงชาติบูร์กินาฟาโซ
ก่อนหน้านี้ดินแดนของบูร์กินาฟาร์โซในปัจจุบันมีชื่อเรียกว่า อัปเปอร์วอลตา ซึ่งรวมเป็นส่วนหนึ่งของประเทศมาลี ต่อมาจึงแยกตัวจากมาลีในปี พ.ศ. 2490 โดยยังคงอยู่ในกลุ่มอาณานิคมแอฟริกาตะวันตกของฝรั่งเศส ธงชาติของอัปเปอร์วอลตาจึงได้มีการกำหนดให้ใช้ขึ้น โดยเป็นธงสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 2 ส่วน ยาว 3 ส่วน ภายในแบ่งเป็นแถบสีดำ-ขาว-แดง ตามแนวนอน เรียงลำดับแถบสีจากบนลงล่าง ลักษณะของธงดังกล่าวนี้พ้องกับธงชาติจักรวรรดิเยอรมัน ซึ่งล่มสลายไปตั้งแต่ปี พ.ศ. 2462 ส่วนที่มาของสีธงนั้น มาจากแม่น้ำสายหลัก 3 สายในดินแดนนี้ ได้แก่ แม่น้ำวอลตาดำ (Black Volta) แม่น้ำวอลตาขาว (White Volta) และ แม่น้ำวอลตาแดง (Red Volta) ธงนี้ใช้สืบมาจนกระทั่งเกิดการรัฐประหารและเปลี่ยนชื่อประเทศเป็นบูร์กินาฟาโซในวันที่ 4 สิงหาคม พ.ศ. 2527

neg:
สัญลักษณ์รัฐประเทศสวิตเซอร์แลนด์
สีประจำเมืองนี้ คือ สีขาวดำ เลยถูกนำมาใช้เป็นสัญลักษณ์ธงประจำของเมือง และธงนี้มีความเกี่ยวข้องกับตราแผ่นดินของประเทศสวิตเซอร์แลนด์
นกอินทรีบนธงนี้ เป็นตัวแทนสัญลักษณ์ของอาณาจักรโรมันศักดิ์สิทธิ์ และ กุญแจหมายถึงกุญแจของโบสถ์เซนต์ปีเตอร์ เหตุผลที่ใช้สัญลักษณ์นี้ เพราะต้องการสื่อความหมายว่า เมืองนี้เป็นประตูเมืองของประเทศ ธงนี้เริ่มใช้ในปี 1815 เป็นต้นมาถึงปัจจุบัน

neg:
ธงชาติเวียดนาม
ลักษณะของธงชาติเวียดนามนั้นเป็นธงสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นสีแดง กว้าง 2 ส่วน ยาว 3 ส่วน ตรงกลางมีรูปดาวห้าแฉกสีเหลืองทอง สีแดงนั้นหมายถึงการต่อสู้เพื่อกู้เอกราชของชาวเวียดนาม สีเหลืองคือสีของชาวเวียดนาม ส่วนดาวห้าแฉกนั้น เป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่าหมายถึงชนชั้นต่างๆ ในสังคมเวียดนาม คือ นักปราชญ์ ชาวนา ช่างฝีมือ พ่อค้า และทหาร อย่างไรก็ตาม ภายหลังการรวมชาติเวียดนามในปี พ.ศ. 2519 ความหมายในธงได้มีการอธิบายใหม่ในทางการเมืองว่า สีแดงหมายถึงการปฏิวัติโดยชนชั้นกรรมาชีพ และดาวสีทองหมายถึงการชี้นำของพรรคคอมมิวนิสต์เวียดนาม

neg:
ธงชาติสาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตเอสโตเนีย
ธงผืนเดิมก่อนหน้านั้นประกาศใช้อย่างเป็นทางการเมื่อปี พ.ศ. 2483 มีลักษณะเป็นธงพื้นสีแดง ที่มุมบนคันธงมีตัวอักษรลาตินตัวย่อว่า "ENSV" ("Eesti Nõukogude Sotsialistlik Vabariik") ในตัวอักษรแบบแซนด์-เซอร์ริฟ ใต้ชื่อประเทศมีรูปค้อนเคียวสีทองวาง

neg:
ธงชาติฟิลิปปินส์
ประเทศฟิลิปปินส์มิได้มีการกำหนดธงชัยหรือธงสงคราม (war flag) แยกเป็นการเฉพาะอย่างที่นิยมกันในหลายประเทศ โดยใช้ธงชาติเพียงอย่างเดียวในวัตถุประสงค์ดังกล่าวด้วย โดยธงชาติฟิลิปปินส์จะเป็นเครื่องหมายแสดงออกถึงภาวะสงครามของประเทศเมื่อมีการแสดงธงโดยให้แถบสีแดงอยู่ทางด้านบน หรือแถบสีแดงอยู่ทางด้านซ้ายของสายตาผู้มองธงเมื่อแสดงธงแบบแขวนแนวตั้ง ส่วนในยามปกตินั้นจะให้แถบสีน้ำเงินอยู่ทางด้านบนของธง ตัวอย่างของการแสดงธงกลับด้านเช่นนี้ปรากฏในประวัติศาสตร์ฟิลิปปินส์ช่วงแห่งการปฏิวัติฟิลิปปินส์ในปี ค.ศ. 1896 ช่วงสงครามโลกครั้งที่ 2 และธงบางส่วนที่ผู้ประท้วงขับไล่ประธานาธิบดีเฟอร์ดินานด์ มาร์กอส ที่รุมล้อมวังมาลากันญังชูขึ้นเป็นสัญลักษณ์ในการปฏิวัติเอ็ดซา เมื่อ ค.ศ. 1986

neg:
ธงชาติรวันดา
ก่อนหน้านั้น ธงชาติรวันดามีลักษณะเป็นธงสามสีแถบแนวตั้งความกว้างเท่ากัน เรียงจากด้านคันธงเป็นแถบสีแดง สีเหลือง และสีเขียว เริ่มใช้ในปี พ.ศ. 2502 ต่อมาจึงเพิ่มอักษร "R" ซึ่งเป็นอักษรตัวแรกของชื่อประเทศลงกลางแถบสีเหลืองในปี พ.ศ. 2505 เพื่อแยกแยะธงนี้ให้ต่างจากธงชาติกินี ซึ่งใช้ธงสามสีอย่างเดียวกันให้ชัดเจน ส่วนสีในธงจัดเป็นสีพันธมิตรแอฟริกา ซึ่งมีที่มาจากธงชาติเอธิโอเปีย ความหมายของสีธงชาติคือ สีแดงหมายถึงการต่อสู้เพื่อเสรีภาพของประชาชน สีเหลืองหมายถึงสันติภาพและความสงบ สีเขียวหมายถึงความหวังและความเชื่อมั่น ธงนี้ภายหลังได้เปลี่ยนมาเป็นธงมาเป็นแบบปัจจุบัน เนื่องจากได้กลายเป็นสัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับการฆ่าล้างเผ่าพันธุ์ชาวรวันดา (Rwandan Genocide)

neg:
ธงชาติอินโดนีเซีย
สีแดงและสีขาวของธงชาติอินโดนีเซียมีที่มาจากสีธงของอาณาจักรมัชปาหิต ซึ่งเป็นอาณาจักรชวาโบราณในสมัยคริสต์ศตวรรษที่ 13 ต่อมาในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 ขบวนการชาตินิยมในอินโดนีเซียได้ฟื้นฟูธงนี้ขึ้นใช้เป็นสัญลักษณ์ต่อต้านการกดขี่ของเนเธอร์แลนด์ในอาณานิคมอินเดียตะวันออกของดัตช์ โดยธงสีแดง-ขาวได้โบกสะบัดครั้งแรกบนเกาชวาในปี ค.ศ. 1928 ภายใต้การปกครองของเนเธอร์แลนด์ในระยะนั้นทำให้ธงนี้มีสถานะเป็นธงต้องห้าม ต่อมาเมื่ออินโดนีเซียได้ประกาศเอกราชในวันที่ 17 สิงหาคม ค.ศ. 1945 ข่าวโอมรักเนิร์สมากคนในที่นี้คือผู้ที่อยูในประเทศเรา จึงได้ถูกชักขึ้นในฐานะสัญลักษณ์ของประเทศอินโดนีเซียครั้งแรก และมีฐานะเป็นธงชาติอย่างแท้จริงนับแต่นั้นเป็นต้นมา

neg:
ธงชาติฟิลิปปินส์
จากการที่สาธารณรัฐฟิลิปปินส์จบลงด้วยความพ่ายแฟ้ต่อสหรัฐอเมริกา ประเทศฟิลิปปินส์จึงถูกปกครองด้วยระบบอาณานิคมของสหรัฐอเมริกา และการแสดงธงชาติฟิลิปปินส์ได้ถูกประกาศให้เป็นการกระทำที่ผิดกฎหมายตามรัฐบัญญัติว่าด้วยการต่อต้านรัฐบาล ค.ศ. 1907 (Sedition Act of 1907) กฎหมายดังกล่าวนี้ต่อมาได้ถูกยกเลิกเมื่อวันที่ 30 ตุลาคม ค.ศ. 1919 เมื่อมีการอนุญาตให้ใช้ธงชาติฟิลิปปินส์ในเวลานั้น ผ้าสีแดงและสีน้ำเงินที่ขายตามห้างร้านขายผ้าต่างๆ ส่วนมากเป็นสีตามแบบของธงชาติสหรัฐอเมริกา ฉะนั้นธงชาติฟิลิปปินส์นับตั้งแต่ ค.ศ. 1919 เป็นต้นมาจึงใช้สีแดงและน้ำเงินตามแบบธงชาติสหรัฐอเมริกา (สีน้ำเงินในธงดังกล่าวเป็นสีชนิดที่เรียกในภาษาอังกฤษว่า "สีเนวีบลู") สภานิติบัญญัติฟิลิปปินส์ได้ผ่านรัฐบัญญัติเลขที่ 2928 เมื่อวันที่ 26 มีนาคม ค.ศ. 1920 เพื่อให้ธงชาติฟิลิปปินส์เป็นธงอย่างเป็นทางการสำหรับหมู่เกาะฟิลิปปินส์ทั้งหมด ส่วนการฉลองวันธงชาติ (Flag Day) ของฟิลิปินส์ในระยะนั้นจนถึงช่วงก่อนสงครามโลกครั้งที่ 2 ได้มีการฉลองเป็นประจำในวันที่ 30 ตุลาคมของทุกปี อันเป็นวันที่กฎหมายห้ามการใช้ธงชาติฟิลิปปินส์ได้ถูกยกเลิก

neg:
ประเทศฟินแลนด์
ฟินแลนด์มีประชากรเพียง 5 ล้านคน ในพื้นที่ 338,145 ตารางกิโลเมตร นับว่ามีประชากรที่เบาบาง แต่มีดัชนีการพัฒนามนุษย์ตามสถิติของสหประชาชาติ พ.ศ. 2549 อยู่ในลำดับที่ 11 ฟินแลนด์เคยเป็นส่วนหนึ่งของสวีเดนหลายศตวรรษ หลังจากนั้นก็อยู่ภายใต้จักรวรรดิรัสเซียจนถึงปี พ.ศ. 2460 ปัจจุบันฟินแลนด์เป็นสาธารณรัฐประชาธิปไตย

neg:
ธงชาติฟิลิปปินส์
อย่างไรก็ตาม ในคำประกาศเอกราชของฟิลิปปินส์ ค.ศ. 1898 ได้นิยามความหมายของธงชาติต่างไปจากปัจจุบัน โดยระบุว่าสีขาวเป็นสัญลักษณ์แทนสมาคมคาติปูนัน (Katipunan) ซึ่งเป็นสมาคมลับที่ต่อต้านการปกครองของจักรวรรดินิยมสเปน สำหรับสีแดงและสีน้ำเงินกำหนดขึ้นจากสีของธงชาติสหรัฐอเมริกาเพื่อแสดงออกถึงความซาบซึ้งที่สหรัฐอเมริกาให้ความคุ้มครองชาวฟิลิปปินส์ในการต่อต้านสเปนในช่วงการปฏิวัติฟิลิปปินส์ ส่วนดาวสามดวงในธง ในคำประกาศเอกราชได้กล่าวว่าดาวดวงหนึ่งในสามดวงนั้นหมายถึงเกาะปานาย ไม่ใช่หมู่เกาะวิสายัน

neg:
ธงชาติอิเควทอเรียลกินี
ธงชาติอิเควทอเรียลกินี มีลักษณะเป็นธงสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 2 ส่วน ยาว 3 ส่วน ภายในธงนั้น ที่ด้านติดคันธงมีรูปสามเหลี่ยมสีฟ้า ฐานยาวเท่าความกว้างของธง ความยาวเป็น 1 ใน 3 ของด้านยาวธง ส่วนที่เหลือแบ่งพื้นที่ภายในตามแนวนอนเป็น 3 แถบ ประกอบด้วยแถบสีเขียว สีขาว และสีแดง เรียงจากบนลงล่าง ทุกแถบนั้นกว้างเท่ากัน ที่ใจกลางแถบสีขาวนั้น มีภาพตราแผ่นดินของอิเควทอเรียลกินี ซึ่งเป็นรูปต้นฝ้ายในโล่สีเทา เบื้องบนมีรูปดาว 6 ดวงเรียงเป็นแถวโค้ง เบื้องล่างมีแพรแถบแสดงคำขวัญประจำชาติเป็นภาษาสเปนว่า "Unidad Paz Justicia" แปลว่า "เอกภาพ สันติภาพ ยุติธรรม" ธงนี้เริ่มใช้อย่างเป็นทางการในวันที่ 21 สิงหาคม พ.ศ. 2522 ซึ่งเป็นวันที่อิเควทอเรียลกินีประกาศเอกราชจากสเปน

neg:
ธงชาติรัสเซีย
การนิยามความหมายที่ต่างออกไปอีกแบบหนึ่ง ระบุไว้ว่า สีขาวหมายถึงอนาคตอันรุ่งโรจน์ของรัสเซียใหม่ สีน้ำเงินหมายถึงท้องฟ้า และสีแดงหมายถึงลัทธิคอมมิวนิสต์และอดีตอันโหดร้ายของรัสเซีย

neg:
ธงชาติออสเตรีย
ธงชาติออสเตรีย เป็นธงสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 2 ส่วน ยาว 3 ส่วน ภายในแบ่งเป็นแถบ 3 แถบตามแนวนอน ความกว้างเท่ากันทุกแถบ แต่ละแถบเป็นแถบสีแดง ขาว และแดง เรียงตามลำดับจากบนลงล่าง ธงนี้ได้ปรากฏการใช้ตั้งแต่สมัยสงครามครูเสดครั้งที่ 3 (พ.ศ. 1732 - 1735) นับว่าเป็นธงชาติธงหนึ่งที่เก่าแก่มากที่สุดในโลก เช่นเดียวกับธงชาติเดนมาร์ก

neg:
ธงชาติอินโดนีเซีย
ธงชาติอินโดนีเซีย หรือ ซังเมราห์ปูติห์ (, สีแดง-ขาว) เป็นธงที่มีต้นแบบมาจากธงประจำอาณาจักรมัชปาหิตในคริสต์ศตวรรษที่ 13 ลักษณะเป็นธงสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 2 ส่วน ยาว 3 ส่วน พื้นธงแบ่งเป็นสองส่วนตามแนวนอน ครึ่งบนสีแดง หมายถึงความกล้าหาญและอิสรภาพ ครึ่งล่างสีขาว หมายถึงความบริสุทธิ์ยุติธรรม

neg:
ธงชาติโอลันด์
ธงชาติโอคนีย์ ใน สกอตแลนด์, ออกแบบเมื่อ พ.ศ.2550, ซึ่งรูปแบบของธงซึ่งมีความตรงกันข้ามกับธงชาติโอลันด์; ซึ่งรูปแบบเหมือนกันกับธงชาติไอซ์แลนด์ ซึ่งมีรูปแบบตรงกันข้ามกับ ธงชาตินอร์เวย์.

neg:
ธงชาติรัสเซีย
ในประเทศฟินแลนด์ส่วนที่พูดภาษาสวีเดน สีของธงชาติรัสเซียปัจจุบันถูกตีความถึงประวัติศาสตร์ฟินแลนด์ในปี ค.ศ. 1809 (พ.ศ. 2352) ซึ่งเป็นช่วงที่ฟินแลนด์ถูกผนวกเข้าเป็นส่วนหนึ่งของรัสเซีย ความหมายโดยรวมคือการเป็นส่วนหนึ่งของรัสเซีย

neg:
ธงชาติฟิลิปปินส์
สำหรับสีของธงชาติ ได้มีการระบุไว้ในรัฐบัญญัติแห่งสาธารณรัฐฟิลิปปินส์เลขที่ 8491 โดยใช้ตัวเลขระบุชนิดสีตามระบบที่พัฒนาขึ้นโดย Color Association of the United States ทั้งนี้ แบบสีธงอย่างเป็นทางการเมื่อเทียบกับระบบสีอื่นๆ ได้แสดงไว้ในตารางเบื้องล่างต่อไปนี้

neg:
ธงชาติญี่ปุ่น
ต่อมาใน พ.ศ. 2411 ตรงกับรัชสมัยเมจิ ธงฮิโนมารุก็ได้รับการพิจารณาให้ใช้เป็นธงชาติในเชิงปฏิบัติ ("de facto" national flag) และมีการรับรองให้ใช้เป็นธงสำหรับเรือค้าขายของเอกชน (civil ensign) ตามพระบรมราชโองการเลขที่ 57 ลงวันที่ 27 มกราคม พ.ศ. 2413 อย่างไรก็ตาม ธงนี้ก็ยังมิได้มีการรับรองเป็นธงชาติอย่างเป็นทางการ ตราบจนวันที่ 13 สิงหาคม พ.ศ. 2542 จึงได้มีพระบรมราชโองการเลขที่ 127 รับรองให้ใช้ธงฮิโนมารุเป็นธงชาติตามกฎหมาย และกำหนดสัดส่วนธงไว้ว่า เป็นธงรูปสีเหลี่ยมผืนผ้า พื้นสีขาว กว้าง 2 ส่วน ยาว 3 ส่วน ตรงกลางเป็นรูปวงกลมสีแดง มีเส้นผ่าศูนย์กลางยาว 3 ใน 5 ส่วน ตามความกว้างของธง

neg:
ธงชาติปานามา
"ธงชาติแห่งสาธารณรัฐ (ปานามา) ประกอบด้วยพื้นธงที่แบ่งภายในเป็น 4 ส่วน กล่าวคือ ส่วนมุมบนด้านคันธงเป็นพื้นสีขาวมีรูปดาวห้าแฉกสีน้ำเงิน 1ดวง ส่วนมุมบนด้านปลายธงเป็นพื้นสีแดงเปล่า ส่วนมุมล่างด้านคันธงพื้นสีน้ำเงินเปล่า ส่วนมุมล่างด้านปลายธงเป็นพื้นสีขาวมีดาวห้าแฉกสีแดง 1 ดวง"

neg:
ประเทศฟินแลนด์
ประชากรของฟินแลนด์มีความนิยมในกีฬาสูง กีฬาประจำชาติของฟินแลนด์คือ pesäpallo ซึ่งเป็นกีฬาที่มีลักษณะคล้ายเบสบอล นอกจากนี้ กีฬาที่ได้รับความนิยมสูง โดยเฉพาะในแง่ของการชมทางโทรทัศน์ ได้แก่กีฬาฮอกกี้น้ำแข็ง และการแข่งรถสูตรหนึ่ง ในอดีต ฟินแลนด์เคยมีชื่อเสียงในเรื่องนักวิ่งระยะกลาง ในกีฬาโอลิมปิก 1924 (พ.ศ. 2467)ที่ปารีส ปาโว นุรมิ คว้าถึงสี่เหรียญทอง ฟินแลนด์เป็นบ้านเกิดของนักกีฬาระดับโลกในปัจจุบันหลายคน เช่น มิกะ แฮกกิเนน กิมิ ไรก์เกอเนน (นักแข่งรถสูตรหนึ่ง) ซามิ ฮูเปีย ยาริ ลิตมาเนน (นักฟุตบอล) นอกจากนี้ยังมีนักกีฬาอีกหลายชนิดที่ประสบความสำเร็จในระดับโลก กีฬาหรือกิจกรรมนันทนาการที่เป็นที่นิยมในฟินแลนด์ได้แก่ ฟลอร์บอล สกี และ sauvakävely (การเดินด้วยแท่งไม้สกี) ฟินแลนด์เคยเป็นเจ้าภาพกีฬากีฬาโอลิมปิกฤดูร้อนในปี พ.ศ. 2495

neg:
ประเทศฟินแลนด์
หลังจากการปฏิวัติบอลเชวิกในรัสเซียประสบความสำเร็จ รัฐสภาของฟินแลนด์ลงมติเห็นชอบในเรื่องการประกาศเอกราชของฟินแลนด์ ในวันที่ 6 ธันวาคม พ.ศ. 2460 และรัฐบาลบอลเชวิกรัสเซีย ยอมรับการประกาศเอกราชในเกือบหนึ่งเดือนถัดมา ซึ่งเยอรมนีและชาติสแกนดิเนเวียอื่น ๆ ก็ยอมรับการประกาศเอกราชตามมาในทันที หลังจากการประกาศเอกราช ฟินแลนด์ก็ตกอยู่ในสภาวะสงครามกลางเมือง โดยเกิดการต่อสู้ระหว่างฝ่าย"ขาว" ซึ่งได้รับการสนับสนุนจากจักรวรรดิเยอรมนี และฝ่าย"แดง" ที่ได้รับการสนับสนุนจากรัสเซียบอลเชวิก ฝ่ายขาวนั้นประกอบไปด้วยกลุ่มคนที่มีฐานะค่อนข้างดี มีความเห็นทางการเมืองค่อนไปทางขวา ในขณะที่ฝ่ายแดงส่วนใหญ่ ซึ่งค่อนข้างจะเป็นฝ่ายซ้ายจะเป็นกลุ่มแรงงาน ฝ่ายขาวชนะสงครามนี้ในเวลาต่อมา ก่อตั้งสาธารณรัฐฟินแลนด์เป็นผลสำเร็จ

neg:
ตราแผ่นดินของฟินแลนด์
ตราแผ่นดินของฟินแลนด์ เริ่มใช้เมื่อพ.ศ. 2123 บังคับใช้เมื่อ พ.ศ. 2521 มีส่วนประกอบคือ

neg:
ธงชาติเอสโตเนีย
ธงฟ้า-ดำ-ขาว ซึ่งได้กลายเป็นธงชาติเอสโตเนียในปัจจุบัน เรื่มปรากฏขึ้นครั้งแรกในช่วงปลายคริสต์ทศวรรษที่ 1880 (พุทธทศวรรษที่ 2423) ในฐานะของธงสมาคมนักศึกษาเอสโตเนียแห่งมหาวิทยาลัยทาร์ทู (ตั้งอยู่ที่เมืองทาร์ทู ประเทศเอสโตเนียในปัจจุบัน) และได้มีการเฉลิมฉลองที่ The Hall of the Pastorate of Otepää ในวันที่ 4 มิถุนายน พ.ศ. 2427 ซึ่งธงสมาคมนักศึกษาเอสโตเนียแห่งมหาวิทยาลัยทาร์ทูที่เป็นของเดิมนี้ ได้มีการเก็บรักษาไว้ที่พิพิธภัณฑ์สถานแห่งชาติของประเทศเอสโตเนีย

neg:
ประเทศฟินแลนด์
ร้อยละ 92 ของประชากรฟินแลนด์พูดภาษาฟินแลนด์เป็นภาษาแม่ รองลงมาคือภาษาสวีเดน (ร้อยละ 5.5) ซึ่งสองภาษานี้เป็นภาษาทางการของประเทศ ภาษาอื่นที่มีการพูดการในฟินแลนด์ได้แก่ภาษารัสเซีย และภาษากลุ่มซามิ ภาษาและวัฒนธรรมของชาวซามิ ซึ่งเป็นชนพื้นเมืองในเขตแลปแลนด์ ได้รับการคุ้มครองทางกฎหมาย

neg:
ธงชาติฝรั่งเศส
แต่เดิมธงนี้มีที่มาจากธงสีแดงและน้ำเงินซึ่งเป็นสีธงประจำกรุงปารีส และธงสีขาว ซึ่งใช้เป็นธงประจำสภาสามัญชน มีความหมายถึงความบริสุทธิ์ และยังหมายถึงประเทศฝรั่งเศสด้วย เมื่อเกิดการปฏิวัติฝรั่งเศส ใน พ.ศ. 2332 ธงสามสี แดง-ขาว-น้ำเงิน ได้กลายเป็นสัญลักษณ์ของการปฏิวัติที่นิยมแพร่หลายโดยทั่วไป เพื่อแสดงให้เห็นถึงการล้มล้างชนชั้นสูงซึ่งมีอิทธิพลอย่างมากในการเมืองการปกครอง แต่รัฐบาลปฏิวัติฝรั่งเศสได้รับรองธงนี้ให้ใช้เป็นธงชาติจริงเมื่อ พ.ศ. 2337

neg:
ธงชาติโซมาลีแลนด์
แม้ว่าในมาตรา 7 แห่งรัฐธรรมนูญสาธารณรัฐโซมาลีแลนด์จะระบุไว้อย่างชัดเจนว่าแถบแนวนอนล่างสุดของธงนั้นเป็นสีแดง แต่ในหลายแล่งของโซมาลีแลนด์กลับพบว่ามีธงที่ใช้แถบล่างสุดเป็นสีส้มแทน นอกจากนี้ยังพบว่ามีการใช้ธงที่มีรูปดาวสีดำกลับหัวจากแบบธงของทางราชการอย่างกว้างขวางอีกด้วย

neg:
ธงชาติสวิตเซอร์แลนด์
ธงชาติสวิตเซอร์แลนด์ มีลักษณะเป็นธงสี่เหลี่ยมจัตุรัสพื้นสีแดง กลางธงมีรูปกากบาทสีขาว โดยความยาวของกากบาทแต่ละด้านนั้นเท่ากัน นับได้ว่าเป็นธงชาติของ 1 ใน 2 ประเทศที่ใช้ธงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (อีกธงหนึ่งคือธงชาตินครรัฐวาติกัน) ธงนี้เป็นธงที่ใช้ทั่วไปบนบก ส่วนธงเรือของสวิตเซอร์แลนด์นั้น ใช้ธงลักษณะอย่างเดียวกัน แต่เปลี่ยนสัดส่วนธงเป็นกว้าง 2 ส่วน ยาว 3 ส่วน