query: พระสงฆ์องค์แรกคือใคร?

pos:
วันอาสาฬหบูชา
ท่านพระอัญญาโกณฑัญญะจึงนับเป็น ""พระสงฆ์อริยสาวกองค์แรก"" ในพระพุทธศาสนา ซึ่งวันนั้นเป็นวันเพ็ญ กลางเดือนอาสาฬหะ หรือเดือน 8 เป็น วันที่พระรัตนตรัยครบบริบูรณ์ บังเกิดขึ้นในโลกเป็นครั้งแรก คือมี "พระพุทธ พระธรรม พระสงฆ์" ครบบริบูรณ์

neg:
สุชีพ ปุญญานุภาพ
สมัยเป็นพระภิกษุอยู่วัดกันตมาตุยาราม ท่านเปิดสอนวิชาพระพุทธศาสนาควบคู่กับวิชาทางโลกสมัยใหม่ให้ศิษยานุศิษย์ที่เป็นพระภิกษุและสามเณร รวมทั้งประชาชนทั่วไป ต่อมา พระพรหมมุนี (ผิน สุวโจ) ผู้ช่วยเจ้าอาวาส วัดบวรนิเวศวิหาร ได้แนะนำให้ท่านรื้อฟื้นมหามกุฏราชวิทยาลัย อันเป็นวิทยาลัยสงฆ์แห่งแรกที่ก่อตั้งขึ้นในสมัยรัชกาลที่ 5 แต่ยุบกิจการไปนานแล้ว หลังจากประสบปัญหาต่างๆ และเสนอแนะให้ท่านมาใช้สถานที่ในวัดบวรนิเวศวิหาร ท่านจึงพาลูกศิษย์มาขอใช้สถานที่ วัดบวรนิเวศวิหาร เพื่อเริ่มเปิดเรียนเป็นกิจลักษณะ แม้จะมีการต่อต้านจากพระสงฆ์ผู้ใหญ่มาก เพราะถือว่าวิชาความรู้สมัยใหม่ เช่น ภาษาอังกฤษ เป็นเดรัจฉานวิชา แต่ท่านก็สู้อดทน วัตถุประสงค์ก็คือ ต้องการสร้างบุคลากรที่สามารถประยุกต์ พุทธธรรม ให้เข้ากับสังคมสมัยใหม่ จนกระทั่ง ได้รับการสนับสนุนจาก สมเด็จพระสังฆราชเจ้า กรมหลวงวชิรญาณวงศ์ ซึ่งได้ออกโรงสนับสนุนด้วยพระองค์เอง โดยมีพระบัญชาให้ประกาศเพื่อตั้งสภาการศึกษา มหามกุฏราชวิทยาลัยเมื่อปี พ.ศ. 2488 ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของ มหาวิทยาลัยสงฆ์ ไทยในยุคใหม่

neg:
พระยสเถระ
พระยสเถระ เป็นพระสงฆ์กลุ่มแรก ๆ ในพระพุทธศาสนา โดยท่านเป็นพระสงฆ์สาวกองค์ที่ 6 ในพระพุทธศาสนา เมื่อท่านบวชแล้วได้เป็นผู้มีส่วนสำคัญในการชักชวนสหายของท่านกว่า ๕๔ คนให้เข้ามาบวชช่วยเผยแพร่พระพุทธศาสนาในช่วงต้นพุทธกาล

neg:
สมณศักดิ์
สำหรับประเทศไทยนั้นระบบสมณศักดิ์ของพระสงฆ์ เริ่มใช้มาตั้งแต่สมัยสุโขทัยในรัชสมัยพระมหาธรรมราชาลิไทย พระองค์ได้โปรดให้ราชบัณฑิตไปอาราธนาพระมหาสามีสังฆราชมาจากประเทศลังกาเพื่อให้ประกาศพระพุทธศาสนาลัทธิลังกาวงศ์ในกรุงสุโขทัย พระมหาสามีสังฆราชคงจะได้ถวายพระพรให้พระมหาธรรมราชาลิไททรงตั้งสมณศักดิ์ถวายแด่พระสงฆ์ตามราชประเพณีที่ถือปฏิบัติในประเทศลังกา ระบบสมณศักดิ์ในสมัยสุโขทัยไม่สลับซับซ้อนเพราะมีเพียง 2 ระดับชั้นเท่านั้น คือ พระสังฆราชและพระครู พอมาถึงสมัยกรุงศรีอยุธยาระบบสมณศักดิ์ได้รับการปรับให้มีระดับชั้นเพิ่มขึ้นเป็น 3 ระดับคือ สมเด็จพระสังฆราช พระสังฆราชคณะหรือพระราชาคณะ และพระครูปรับปรุงใหม่ พ.ศ. 2541 โดยความเห็นชอบของมหาเถรสมาคมในการประชุมครั้งที่ 6/2541 เมื่อวันที่ 27 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2541

neg:
มหานิกาย
และใน พ.ศ. 2445 พระบาทสมเด็จพระจุลจอมเกล้าเจ้าอยู่หัวมีพระบรมราชโองการ ให้ประกาศใช้พระราชบัญญัติลักษณะการปกครองคณะสงฆ์ขึ้นเป็นครั้งแรกในประเทศไทย พระราชบัญญัติฉบับนี้มีชื่อว่า “พระราชบัญญัติคณะสงฆ์ รศ.121” มีสาระสำคัญคือ ได้ยกสถานะคณะธรรมยุต ให้เป็นนิกายอย่างถูกต้องตามกฎหมาย

neg:
สมเด็จพระมหาสมณเจ้า กรมพระยาวชิรญาณวโรรส
ทรงเริ่มพัฒนาการพระศาสนา โดยเริ่มต้นที่วัดบวรนิเวศวิหาร ได้แก่ริเริ่มให้ภิกษุสามเณรที่บวชใหม่ เรียนพระธรรมวินัยในภาษาไทย มีการสอบความรู้ด้วยวิธีเขียน ต่อมาจึงกำหนดให้เป็นหลักสูตรการศึกษาสำหรับคณะสงฆ์ เรียกว่า นักธรรม ทรงจัดตั้ง มหามกุฎราชวิทยาลัย เป็นการริเริ่มจัดการศึกษาของพระภิกษุ สามเณรแบบใหม่ คือ เรียนพระปริยัติธรรม ประกอบกับวิชาการอื่น ที่เอื้ออำนวยต่อการสอนพระพุทธศาสนา ผู้ที่สอบได้จะได้เป็นเปรียญเช่นเดียวกับที่สอบได้ในสนามหลวง เรียกว่า เปรียญมหามงกุฎ แต่ได้เลิกไปในอีก 8 ปีต่อมา ทรงออกนิตยสาร ธรรมจักษุ ซึ่งเป็นนิตยสารทางพระพุทธศาสนา ฉบับแรกของไทย
ทรงอำนวยการจัดการศึกษาหัวเมืองทั่วราชอาณาจักรเมื่อปี พ.ศ. 2441 ตามพระราชดำริของพระบาทสมเด็จพระจุลจอมเกล้าเจ้าอยู่หัวที่จะขยายการศึกษาขั้นพื้นฐานไปยังประชาชนทั่วราชอาณาจักร ทรงเห็นว่า วัดเป็นแหล่งให้การศึกษาแก่คนไทยมาแต่โบราณกาล เป็นการขยายการศึกษาได้เร็วและทั่วถึง เพราะมีวัดอยู่ทั่วไปในพระราชอาณาจักร ไม่ต้องสิ้นเปลืองงบประมาณแผ่นดิน งานนี้มีกระทรวงมหาดไทยเป็นหน่วยสนับสนุน พระองค์ดำเนินการอยู่ 5 ปี ก็สามารถขยายการศึกษาขั้นพื้นฐานคือ ชั้นประถมศึกษา ออกไปได้ทั่วประเทศ จากนั้นจึงให้กระทรวงธรรมการ ดำเนินการต่อไป

neg:
พุทธประวัติ
หลังจากตรัสรู้แล้ว พระพุทธองค์ได้เสด็จไปโปรดปัญจวัคคีย์ ที่ป่าอิสิปตนมฤคทายวัน และได้แสดงธรรมเทศนากัณฑ์แรก คือธัมมจักกัปปวัตตนสูตร ณ วันเพ็ญเดือน 8 คือวันอาสาฬหบูชานั่นเอง ซึ่งกล่าวถึงที่สุด 2อย่าง อันบรรพชิต ไม่ควรปฏิบัติ คือการลุ่มหลงมัวเมาในกาม 1 การทรมาณตนให้ลำบากเปล่า 1 มัฌิมาปฏิปทา ทางสายกลางที่ควรดำเนิน คืออริยสัจจสี่และมรรคมีองค์แปด 1
ท่านโกณฑัญญะ ก็ได้ “ธรรมจักษุ” คือดวงตาเห็นธรรม พระพุทธองค์จึงทรงเปล่งวาจาว่า จากข้อความนั้นแปลว่า โกณฑัญญะได้รู้แล้ว ท่านโกณฑัญญะ จึงได้สมญาว่า อัญญาโกณฑัญญะ และได้รับการบวชเป็นพระสงฆ์องค์แรก

neg:
วัดม้าขาว
วัดม้าขาว หรือ ไป๋หม่าซื่อ (สำเนียงจีนกลาง) หรือ แป๊ะเบ๊ยี่ (สำเนียงแต้จิ๋ว) (, , พินอิน: Báimǎ Sì) เป็นวัดทางพุทธศาสนาแห่งแรกที่ตั้งขึ้นในประเทศจีน อยู่ที่เมืองลั่วหยาง มณฑลเหอหนาน ซึ่งประวัติความเป็นมา คือ ในปี ค.ศ. 66 ในรัชสมัยจักรพรรดิมิ่งตี้ แห่งราชวงศ์ฮั่น หลังจากได้มีการส่งคณะทูต 18 คน ไปสืบพุทธศาสนาที่ประเทศอินเดีย โดยใช้เวลา 3 ปี คณะทูตก็ได้เดินทางกลับ พร้อมด้วยพระพุทธรูป พระภิกษุอีก 2 รูป คือ พระกัศยป มาตังคะ (迦葉摩騰)และพระธรรมรัตน์ โคภรณ์ (竺法蘭) และคัมภีร์ทางพุทธศาสนามาส่วนหนึ่งด้วย โดยบรรทุกมาบนหลังม้าสีขาวตัวหนึ่ง ในปี ค.ศ. 68 จึงได้โปรดให้มีการสร้างวัดแห่งนี้ขึ้นที่ชานเมืองลั่วหยาง เพื่อเป็นที่เก็บพระคัมภีร์ และให้พระภิกษุทั้ง 2 จำพรรษา ณ วัดแห่งนี้ และพระราชทานนามให้ว่า "วัดม้าขาว" เพื่อเป็นอนุสรณ์แก่ม้าขาวตัวนั้น

neg:
พระยสเถระ
เมื่อยสกุลบุตรได้ยินดังนั้น จึงเข้าไปเฝ้าพระพุทธเจ้า ทรงแสดงธรรมเทศนาโปรดแด่ท่านยสกุลบุตรจนได้ดวงตาเห็นธรรม ภายหลังบิดาได้เดินออกตามหายสกุลบุตร ได้ไปพบพระองค์และฟังพระธรรมเทศนา ยสกุลบุตรจึงได้ฟังพระธรรมเทศนาเป็นครั้งที่ 2 โดยส่งกระแสจิตไปตามธรรม จนได้บรรลุอรหัตแล้วท่านจึงทูลขอบวช เมื่อบิดาท่านสดับพระธรรมเทศนาจนได้ดวงตาเห็นธรรมและถือพระรัตนตรัยเป็นที่พึ่ง เช้าวันรุ่งขึ้นพระพุทธเจ้าและพระยสะได้เข้าไปรับภัตตาหารที่บ้านบิดาพระยสะ มารดาท่านยสะ และ(อดีต)ภริยาของพระยสะได้สดับพระธรรมเทศนาจนได้ดวงตาเห็นธรรม แสดงตนเป็นอุบาสิกาคนแรกในพระพุทธศาสนา

neg:
พระทีปังกรพุทธเจ้า
เมื่อพระนางปทุมาเทวีประสูติพระโอรส พระนามว่า อุสภักขันธกุมาร จึงได้เสด็จออกบรรพชาในราชอุทยานนั้นด้วยคชยาน 84,000 เชือก มีผู้ออกบรรพชาตามจำนวนโกฏิหนึ่ง หลังจากทรงบำเพ็ญความเพียรอยู่เป็นเวลา 10 เดือน ในวันเพ็ญเดือนวิสาขะ พระองค์ก็นำบริษัทเข้าไปบิณฑบาตข้าวปายาสในนคร ตอนเย็นทรงปลีกจากคณะ ทรงรับหญ้า 8 กำ จากอาชีวกชื่อ อานันทะ และนำมาปูลาดเป็นโพธิบัลลังก์ใต้ต้นเลียบ (ต้นมะกอก) ปราบพระยามารกับพลมารนับอสงไขย และได้ตรัสรู้เป็นพระสัมมาสัมพุทธเจ้าในคืนนั้น พระทีปังกรพุทธเจ้าทรงแสดงปฐมเทศนา แก่พระภิกษุผู้บรรพชาตามจำนวนโกฏิหนึ่ง ที่สุนันทาราม ทำให้พระภิกษุโกฏิหนึ่งนั้นสำเร็จเป็นพระอริยบุคคล

neg:
สมเด็จพระเจ้ากรุงธนบุรี
สมเด็จพระเจ้ากรุงธนบุรีทรงพระกรุณาโปรดเกล้าฯ ให้ตรากฎหมายว่าด้วยวัตรปฏิบัติในทางธรรมวินัยของพระสงฆ์ พ.ศ. 2316 โดยถือเป็นต้นฉบับกฎหมายพระสงฆ์ฉบับแรกของไทย และทรงนำแนวคิดทางพระพุทธศาสนามาใช้เป็นหลักในการจัดระเบียบสังคมในสมัยนั้นด้วย

neg:
พระมังคลพุทธเจ้า
ในสมัยของพระมังคละพุทธเจ้า พระโพธิสัตว์ได้เสวยพระชาติเป็น สุรุจิพราหมณ์ มีจิตเลื่อมใสในพระรัตนตรัย จึงเดินทางไปยังสำนักของพระพุทธเจ้า และขออาราธนาให้พระพุทธองค์พร้อมทั้งเหล่าพระภิกษุสงฆ์ทั้งหลาย ไปรับภัตตาหารบิณฑบาตที่บ้านของตนเอง ซึ่งพระพุทธองค์ทรงรับอาราธนา แต่เมื่อกลับไปบ้านก็พบว่าบ้านตนช่างคับแคบนัก พระอินทร์จึงแปลงกายเป็นช่างก่อสร้าง พระบรมโพธิสัตว์บอกว่าอาจสร้างไม่เสร็จภายในหนึ่งวัน พระอินทร์แปลงย้อนถามว่าถ้าตนทำได้เสร็จก่อนกำหนดท่านจะให้ค่าจ้างไหม พระโพธิสัตว์ตอบว่า อะไรก็ได้ แม้ชีวิตก็จะให้ แล้วพระโพธิสัตว์ก็เข้าไปในบ้าน พระอินทร์ก็เนรมิตศาลาใหญ่พร้อมอาสนะเสร็จ ก็เรียกพราหมณ์ให้ออกมาดู พระโพธิสัตว์เห็นเข้าก็ดีใจอย่างยิ่งแล้วเข้าไปในบ้านเพื่อเอาค่าจ้างมาให้ แต่พอออกมาช่างก่อสร้างก็หายไป
วันต่อมาพระพุทธเจ้าพร้อมด้วยเหล่าพระภิกษุสงฆ์ก็เดินทางมารับบิณฑบาต พระโพธิสัตว์อาราธนาให้อยู่จนครบ 7 วันพระพุทธองค์ก็ทรงรับอาราธนา เมื่อครบ 7 วันพระพุทธองค์ทรงประทานภัตตานุโมทนากถาแล้วทรงทราบด้วยพระญาณว่าพราหมณ์นี้มีบุญมาก และหวังพระสัพพัญญุตญาณจึงตรัสว่า
"ท่านสุรุจิพราหมณ์ท่านนี้ กาลล่วงไปในอนาคตกำหนดได้ 2 อสงไขยเศษอีกแสนกัป จะได้ตรัสรู้เป็นพระสัมมาสัมพุทธเจ้า ทรงนามว่าพระศรีศากยมุนีโคดม ในภัทรกัปนั้น"
สุรุจิโพธิสัตว์มีความปีติยินดีมาก หลังจากนั้นไม่นานพระโพธิสัตว์มีความเบื่อหน่ายในโลก จึงออกบวชในพระพุทธศาสนา ศึกษาพระไตรปิฏก และเจริญพระกรรมฐาน จนสำเร็จอภิญญา หลังสิ้นอายุขัย ไปเกิดเป็นพระพรหมอยู่บนพรหมโลก

neg:
ธรรมยุติกนิกาย
ธรรมยุติกนิกาย หรือ คณะธรรมยุต เป็นคณะสงฆ์ที่พระวชิรญาณเถระทรงตั้งขึ้นเพื่อฟื้นฟูศาสนาพุทธในสยาม และแก้ไขวัตรปฏิบัติให้ถูกต้องตามพระธรรมวินัย เมื่อพระบาทสมเด็จพระจอมเกล้าเจ้าอยู่หัวผนวชอยู่นั้น ได้ทรงศึกษาพระไตรปิฎกอย่างแตกฉานทำให้มีพระวิจารณญาณเกี่ยวกับความเป็นมาของพระพุทธศาสนา และความประพฤติปฏิบัติของพระภิกษุสามเณรได้อย่างละเอียดถี่ถ้วน เป็นเหตุให้มีพระราชดำริในอันที่จะฟื้นฟูการสั่งสอนพระพุทธศาสนา และการประพฤติปฏิบัติของพระสงฆ์ให้ถูกต้องตามพระธรรมวินัยตามที่ได้ทรงศึกษา และทรงพิจารณาสอบสวนจนเป็นที่แน่แก่พระราชหฤทัยว่าถูกต้องเป็นจริงอย่างไร แล้วพระองค์ได้ทรงนำประพฤติปฏิบัติขึ้นก่อน หรือกล่าวอีกอย่างหนึ่งก็คือ ทรงเริ่มแก้ไขที่พระองค์เองเป็นอันดับแรก ต่อมาเมื่อมีบุคคลอื่นเห็นชอบและนิยมตาม จึงได้มีผู้ประพฤติปฏิบัติตามอย่างพระองค์ขึ้น และมีจำนวนมากขึ้นเป็นลำดับ จนเกิดเป็นพระสงฆ์หมู่หนึ่ง หรือนิกายหนึ่ง ที่ได้ชื่อในภายหลังว่า ธรรมยุติกนิกาย หรือที่เรียกสั้น ๆ ว่า “ธรรมยุต” อันมีความหมายว่า ผู้ประกอบด้วยธรรม หรือชอบด้วยธรรม หรือยุติตามธรรม ทั้งนี้ก็เพราะว่าพระสงฆ์นี้เกิดขึ้นด้วยมุ่งแสวงหาว่า ข้อใดเป็นธรรม เป็นวินัย เป็นสัตถุศาสน์ (คือคำสั่งสอนของพระศาสดา) แล้วปฏิบัติข้อนั้น เว้นข้อที่ไม่เป็นธรรม ไม่เป็นวินัย ไม่เป็นสัตถุศาสน์ แม้จะเป็นอาจินปฏิบัติ (ข้อปฏิบัติตามกันมาแต่ผิดพระธรรมวินัย) พระบาทสมเด็จพระจุลจอมเกล้าเจ้าอยู่หัว มีพระบรมราชโองการ ให้ประกาศใช้พระราชบัญญัติลักษณะการปกครองคณะสงฆ์ขึ้น เป็นครั้งแรกในประเทศไทย พระราชบัญญัติฉบับนี้มีชื่อว่า พระราชบัญญัติคณะสงฆ์ ร.ศ. 121 มีสาระสำคัญคือได้ยกสถานะคณะธรรมยุติ ให้เป็นนิกายอย่างถูกต้องตามกฎหมาย

neg:
พระนิชิกัง
พระนิชิคัน (ค.ศ. 1665 - ค.ศ. 1726) หรือ พระนิชิคัน โชนิน เป็นประมุขสงฆ์ของพุทธศาสนานิกายนิชิเรนโชชู เป็นผู้ที่ทำให้พุทธธรรมของพระนิชิเรนไดโชนิน มีความเจริญรุ่งเรือง นอกเหนือจากพระนิกโคโชนินและพระนิชิโมขุโชนินแล้ว พระนิชิคันโชนินนับว่าเป็นประมุขสงฆ์อันดับ 1 ของการศรัทธาที่ขึ้นตรงต่อพระนิชิเรนไดโชนิน พระนิชิคันโชนินเป็นพระสงฆ์ที่มีชื่อเสียงในฐานะเป็น บรรพบุรุษแห่งการฟื้นฟูพุทธธรรม กล่าวคือ หลังจากที่พระนิชิเรนไดโชนินดับขันธ์แล้วประมาณ 400 ปี ท่านก็ได้เป็นผู้ทำลายคำสอนต่างๆ ในประเทศญี่ปุ่นที่บิดเบือนไปจากพุทธธรรมของพระนิชิเรนไดโชนิน ท่านได้ชี้ชัดให้เห็นถึงความถูกต้องของพุทธธรรมของพระนิชิเรนไดโชนินทั้งภายในและภายนอกนิกาย แล้วยังได้จัดให้มีการศึกษาที่ถูกต้องโดยกลับไปสู่จุดเริ่มต้นของพระนิชิเรนไดโชนิน ดังนั้น ท่านได้สมญานามว่า ท่านคันที่เคารพยิ่ง มาตั้งแต่สมัยนั้น ท่านได้รับการยกย่องว่ามีความศรัทธาและผลงานที่ยิ่งใหญ่

neg:
พระปิยทัสสีพุทธเจ้า
หลังจากศาสนาของพระสุชาตพุทธเจ้าได้อันตรธานไปแล้ว ได้เกิดเป็นสุญญกัปถึง ๑,๘๐๐ กัป จึงเกิดกับใหม่เรียกว่า วรกัป ซึ่งเป็นกัปที่มีพระพุทธเจ้ามาตรัสรู้ ๓ พระองค์ พระองค์แรกคือ
พระปิยทัสสีพุทธเจ้า

neg:
ชีวิตอารามวาสี
คณะสงฆ์คือคณะนักพรตที่เป็นพระภิกษุและภิกษุณีที่พระพุทธเจ้าทรงก่อตั้งขึ้นเมื่อกว่า 2500 ปีมาแล้ว แนววิถีแบบอรัญวาสีนี้ได้พัฒนามากจากลัทธิของดาบสที่แพร่หลายอยู่ก่อนซึ่งพระพุทธเจ้าได้เคยศึกษามาตั้งแต่ก่อนบำเพ็ญทุกรกิริยา (คือเมื่อศึกษาในสำนักอาฬารดาบสและอุทกดาบส) ในช่วงแรกพระสงฆ์มักใช้ชีวิตอย่างฤๅษีหรืออาศัยอยู่โดดเดี่ยวเป็นปกติ ถือครองทรัพย์สินน้อยที่สุดคือเพียงเครื่องอัฐบริขารและยังชีพด้วยปัจจัยที่ชาวบ้านถวายให้ ลูกศิษย์ที่เป็นฆราวาสก็ต้องจัดหาภัตตาหารในแต่ละวันและกุฏิง่ายๆ ให้ท่านเมื่อท่านต้องการ
ภายหลังการเสด็จดับขันธปรินิพพาน คณะสงฆ์เริ่มพัฒนามาเป็นคณะนักพรตแบบอยู่รวมกลุ่ม (cenobite) โดยสันนิษฐานว่ามีต้นเค้ามาตั้งแต่สมัยพุทธกาลที่พระพุทธเจ้าให้พระสงฆ์อยู่จำพรรษาในอารามตลอดหน้าฝน จนค่อย ๆ พัฒนามาเป็นการอยู่ประจำรวมกลุ่มกันเป็นชุมชนนักปฏิบัติ พระวินัยที่ภิกษุและภิกษุณีรักษากันซึ่งเรียกว่า "ปาฏิโมกข์" ก็แสดงถึงระเบียบในการดำรงชีวิตร่วมกันเป็นชุมชนในอาราม จำนวนสิกขาบทของภิกษุและภิกษุณีก็แตกต่างกัน ในนิกายเถรวาทภิกษุต้องรักษาสิกขาบท 227 ข้อ ส่วนภิกษุณีต้องรักษามากกว่าเป็น 311 ข้อ

neg:
สังคายนาครั้งที่หนึ่งในศาสนาพุทธ
หลังจากพิธีถวายพระเพลิงพระพุทธสรีระได้ผ่านไปแล้ว 3 เดือนพระมหากัสสปะจึงได้ชักชวนพระอรหันต์ทั้งสิ้น 500 รูปมาร่วมสังคายนาพระไตรปิฎกโดยมีท่านเป็นประธานและทำหน้าที่ซักถามพระวินัยและพระธรรมส่วน พระอุบาลีเป็นผู้วิสัชนาพระวินัย และพระอานนท์ซึ่ง 1 วันก่อนสังคายนาท่านได้บำเพ็ญธรรมจนสำเร็จเป็นพระอรหันต์ ทำหน้าที่วิสัชนาพระธรรม และได้พระเจ้าอชาตศัตรูเป็นองค์อุปถัมภก โดยสถานที่ทำปฐมสังคายนาคือ  ถ้ำสัตบรรณคูหา  กระทำทั้งสิ้น 7 เดือนจึงสำเร็จ

neg:
พระยาจุฬาราชมนตรี (เซน)
พระยาจุฬาราชมนตรี (เซน)เป็นบุตรของพระยาเพชรพิชัย (ใจ)กับคุณหญิงแฉ่ง เกิดเมื่อปีใดไม่ปรากฏ บิดาและน้องชายของท่านเปลี่ยนไปนับถือศาสนาพุทธในสมัยสมเด็จพระเจ้าอยู่หัวบรมโกศ ส่วนท่านยังนับถือศาสนาอิสลาม นิกายชีอะหฺต่อมา เข้ารับราชการในกรมท่าขวาและกองอาสาจามจนได้รับตำแหน่งจุฬาราชมนตรี ได้รับพระราชทานเกียรติยศเสมอเจ้าพระยาพระคลังแต่มิได้ตั้งให้เป็นเจ้าพระยา ไม่ทราบว่าเสียชีวิตเมื่อใด บุตรของท่านชื่อ ก้อนแก้ว ได้เป็นจุฬาราชมนตรีคนแรกในสมัยรัตนโกสินทร์

neg:
วันอาสาฬหบูชา
การแสดงธรรมครั้งนั้นทำให้พราหมณ์โกณฑัญญะ 1 ในปัญจวัคคีย์ ประกอบด้วย โกณฑัญญะ วัปปะ ภัททิยะ มหานามะ และอัสสชิ เกิดความเลื่อมใสในพระธรรมของพระพุทธเจ้า จนได้ดวงตาเห็นธรรมหรือบรรลุเป็นพระอริยบุคคลระดับโสดาบัน ท่านจึงขออุปสมบทในพระธรรมวินัยของพระพุทธเจ้า ด้วยวิธีเอหิภิกขุอุปสัมปทา พระอัญญาโกณฑัญญะจึงกลายเป็นพระสาวกและภิกษุองค์แรกในโลก และทำให้ในวันนั้นมีพระรัตนตรัยครบองค์สามบริบูรณ์เป็นครั้งแรกในโลก คือ มีทั้งพระพุทธเจ้า พระธรรม และพระสงฆ์ ด้วยเหตุนี้จึงทำให้วันนี้ถูกเรียกว่า "วันพระธรรม" หรือ วันพระธรรมจักร อันได้แก่วันที่ล้อแห่งพระธรรมของพระพุทธเจ้าได้หมุนไปเป็นครั้งแรก และ "วันพระสงฆ์" คือวันที่มีพระสงฆ์เกิดขึ้นเป็นครั้งแรก และจัดว่าเป็น"วันพระรัตนตรัย" อีกด้วย

neg:
พระสงฆ์
พระไตรปิฎกภาษาบาลีได้กล่าวถึงถึง พระสงฆ์ ไว้ 2 ประเภท ได้แก่ สาวกสงฆ์ และ ภิกขุสงฆ์

neg:
พระอานนท์
สมเด็จพระสัมมาสัมพุทธเจ้าแม้ตรัสรู้แล้วถึง 20 พรรษา แต่ยังไม่มีผู้ใดเป็นพุทธอุปัฎฐากประจำ ซึ่งได้สร้างความลำบากแก่พระองค์เป็นอย่างมาก สมเด็จพระสัมมาสัมพุทธเจ้าได้ตรัสว่า บัดนี้พระองค์ทรงพระชราแล้ว ภิกษุผู้อุปัฏฐากพระองค์บางรูปทอดทิ้งพระองค์ไปตามทางที่ตนปรารถนา บางรูปวางบาตรจีวรของพระองค์ไว้บนพื้นดินแล้วเดินจากไปเสีย จึงขอให้พระสงฆ์เลือกพระภิกษุรูปใดรูปหนึ่งขึ้นเป็นพุทธอุปัฏฐากประจำ คณะสงฆ์เห็นว่าควรจะมีพระภิกษุรูปใดรูปหนึ่งคอยสนองงานของสมเด็จพระสัมมาสัมพุทธเจ้า

neg:
ประวัติศาสนาพุทธ
พระโคตมพุทธเจ้า หรือ พระพุทธเจ้าองค์ปัจจุบัน มีพระนามเดิมว่า เจ้าชายสิทธัตถะ เป็นพระโอรสของพระเจ้าสุทโธทนะและพระนางสิริมหามายา ประสูติในราชตระกูลศากยวงศ์ แห่งกรุงกบิลพัสดุ์ พระองค์ทรงออกผนวชเมื่อพระชนมายุ 29 พรรษา บำเพ็ญเพียรอยู่ 6 ปี จึงตรัสรู้เมื่อพระชนมายุ 35 พรรษา และทรงประกาศพระศาสนาอยู่ 45 ปี จึงเสด็จปรินิพพานเมื่อพระชนมายุได้ 80 พรรษา ซึ่งเป็นการเริ่มต้นของการนับปีพุทธศักราช

neg:
วันอาสาฬหบูชา
วันอาสาฬหบูชา เป็นวันที่ท่านโกณฑัญญะได้บรรลุธรรมสำเร็จพระโสดาบันเป็นพระอริยบุคคลคนแรก และได้รับประทานเอหิภิกขุอุปสมบทเป็นภิกษุองค์แรกในพระศาสนา และด้วยการที่ท่านเป็นพระอริยสงฆ์องค์แรกในโลกดังกล่าว พระรัตนตรัยจึงครบองค์สามบริบูรณ์เป็นครั้งแรกในโลก ด้วยเหตุนี้วันอาสาฬหบูชาจึงมีชื่อเรียกว่า "วันพระสงฆ์"

neg:
พระพุทธรูป
พระพุทธรูปรูปแรกจึงเกิดขึ้นในสมัยของพระเจ้ามิลินท์ หรือเมนันเดอร์ที่ 1 ชาวกรีกที่มาครอบครองแคว้นคันธารราฐ เมื่อประมาณพุทธศตวรรษที่ 6 หรือ 2,000 ปีที่แล้วนั่นเอง พระพุทธรูปที่เกิดขึ้นครั้งแรกจึงเรียกรูปแบบของพระพุทธรูปนี้ว่า แบบคันธารราฐ โดยถ่ายแบบอย่างเทวรูปที่พวกชาวกรีกนับถือกันในยุโรปมาสร้าง พระพุทธรูปแบบคันธารราฐจึงมีใบหน้าเหมือนฝรั่งชาวกรีก จีวรก็เป็นริ้วเหมือนเครื่องนุ่งห่มของเทวรูปกรีก และต่อมาในภายหลัง ราวพุทธศตวรรษ ที่ 4-12 มีคตินิยมสร้างพระพุทธรูปเป็นขนาดเล็ก ๆ (พระเครื่อง) บรรจุไว้ในพุทธเจดีย์

neg:
พระโคตมพุทธเจ้า
พระพุทธเจ้าทรงรับข้าวสัตตุก้อนสัตตุผงที่พ่อค้าสองพี่น้องถวายด้วยความเลื่อมใส เมื่อทรงทำภัตกิจเสร็จแล้ว พ่อค้าทั้งสองทูลขอถึงพระพุทธและพระธรรมเป็นที่พึ่งนับถือสูงสุดในชีวิต เพราะขณะนั้น ยังไม่มีพระสงฆ์บังเกิดขึ้น ถือเป็นเทววาจิกอุบาสก นับเป็นอุบาสกคู่แรกในพระพุทธศาสนา

neg:
พุทธจริต
สรรค 17 การบรรพชาของมหาสาวก กล่าวถึงพระเจ้าเศรณยะพิมพิสารทรงถวายพระเวณุวันเป็นพระอารามแห่งแรกแด่พระพุทธองค์ พระอัศวชิตเข้าไปบิณฑบาตในเมืองราชคฤห์ อุปติษยะเห็นพระอัศวชิตเดินสำรวมน่าเลื่อมใสจึงติดตามไปเพื่อสนทนาธรรม พระอัศวชิตกล่าวสั้นๆว่า ผลทุกอย่างเกิดแต่เหตุ เมื่อเหตุดับผลก็ดับ อุปติษยะได้ฟังก็เกิดดวงตาเห็นธรรมละทิ้งลัทธิเดิมของตนและนำความไปบอกเมาทคลโคตรผู้เป็นสหายจนได้ดวงตาเห็นธรรมเช่นกัน จากนั้นจึงชวนกันไปเฝ้าพระพุทธองค์เพื่อขอบวช ภายหลังทั้งสองได้เป็นอัครสาวกของพระพุทธองค์ ต่อมาพราหมณ์กาศยปะได้ละทิ้งทรัพย์และภรรยาออกแสวงหาความหลุดพ้นได้มาพบพระพุทธองค์ที่เจดีย์พหุปุตรกะจึงน้อมตนเข้าไปเฝ้า พระพุทธองค์ทรงเทศนาโปรดจนบรรลุอรหัตผล ครั้งนั้นพระพุทธองค์ประทับอยู่ท่ามกลางพระสาวกทั้ง 3 ดุจพระจันทร์เพ็ญลอยอยู่ท่ามกลางดาวฤกษ์ 3 ดวงในเดือนชเยษฐา (เดือน7)

neg:
พระเจ้าบรมวงศ์เธอ กรมหมื่นศรีสุเรนทร์
พ.ศ. 2359 สมเด็จพระอริยวงษญาณ สมเด็จพระสังฆราช (ศุข) สิ้นพระชนม์ลงครั้งนั้นว่ากันว่าสมเด็จพระพุทธโฆษาจารย์ (บุญศรี) วัดมหาธาตุอาจจะเป็นสมเด็จพระสังฆราช แต่ก็ได้เกิดอธิกรณ์ซึ่งนับว่าเป็นครั้งสำคัญและครั้งแรกขึ้นในรัชกาลที่ 2 เพราะมีพระเถระผู้ใหญ่ที่เป็นกำลังของคณะสงฆ์ต้องอธิกรณ์เมถุนปาราชิกพร้อมกันถึง 3 รูป ดังมีบันทึกไว้ในพระราชพงศาวดารว่า

neg:
พระสงฆ์
เมื่อใช้ควบกับคำว่า พระ เป็น พระสงฆ์ ซึ่งมีความหมายว่าภิกษุ เช่น ""นิมนต์ภิกษุสงฆ์มาฉันในงานเมื่อวาน มีพระสงฆ์มาเป็นจำนวนมาก"" ตามพระวินัย ภิกษุตั้งแต่ 4 รูปขึ้นไปจึงเรียกว่าสงฆ์ เช่นในคำว่า สังฆกรรม (กรรมที่สงฆ์ คือภิกษุตั้งแต่ 4 รูปขึ้นไปพึงทำรวมกัน)

neg:
นักบวช
ปุโรหิตในศาสนายูดาห์เรียกโดยทับศัพท์ว่าโคเฮน มีต้นกำเนิดมาจากอาโรนพี่ชายของโมเสสซึ่งได้รับเจิมให้ทำหน้าที่ปุโรหิตเป็นคนแรกแก่วงศ์วานอิสราเอลในการถวายเครื่องบูชาแก่พระยาห์เวห์

neg:
พระเจ้าชิมนยู
ในปี ค.ศ. 384 พระสงฆ์องค์หนึ่งซึ่งเดินทางมาจากประเทศอินเดีย นามว่า มาลัยนันทะ ซึ่งเดินทางมาจากอาณาจักรจิน ขอเข้าเฝ้าพระเจ้าชิมนยูที่พระราชวังฮันซาน พระเจ้าชิมยูทรงต้อนรับอย่างดีแล้วพระองค์ก็ทรงเลื่อมใสในพระพุทธศาสนาอย่างมากทรงประกาศให้เป็นศาสนาประจำอาณาจักร ในปี ค.ศ. 385 พระองค์ทรงสั่งให้สร้างวัดขึ้นในเมืองฮันซานจำนวน 10 วัด และให้มีการบวชเป็นพระภิกษุครั้งแรกในอาณาจักรแพกเจ

neg:
มหายาน
หลังจากพระโคตมพุทธเจ้าเสด็จดับขันธปรินิพพานได้ 3 เดือน พระสาวกผู้ได้เคยสดับสั่งสอนของพระองค์จำนวน 500 รูป ก็ประชุมทำสังคายนาครั้งแรก ณ ถ้ำสัตบรรณคูหา ใกล้เมืองราชคฤห์ แคว้นมคธ ใช้เวลาสอบทานอยู่ 7 เดือน จึงประมวลคำสอนของพระพุทธเจ้าได้สำเร็จเป็นครั้งแรก นับเป็นบ่อเกิดของคัมภีร์พระไตรปิฎก คำสอนที่ลงมติกันไว้ในครั้งปฐมสังคายนาและได้นับถือกันสืบมา เรียกว่า เถรวาท แปลว่า คำสอนที่วางไว้เป็นหลักการโดยพระเถระ คำว่า เถระ ในที่นี้ หมายถึงพระเถระผู้ประชุมทำสังคายนาครั้งแรก และพระพุทธศาสนาซึ่งถือตามหลักที่ได้สังคายนาครั้งแรกดังกล่าว เรียกว่า นิกายเถรวาท อันหมายถึง คณะสงฆ์กลุ่มที่ยึดคำสั่งสอนของพระพุทธเจ้า ทั้งถ้อยคำ และเนื้อความที่ท่านสังคายนาไว้โดยเคร่งครัด ตลอดจนรักษาแม้แต่ตัวภาษาดั้งเดิมคือภาษาบาลี

neg:
เคลอจี
ในพุทธศาสนาเคลอจีจะหมายถึงพระสงฆ์ ซึ่งประกอบด้วยภิกษุสงฆ์และภิกษุณีสงฆ์ คณะสงฆ์นี้พระพุทธเจ้าทรงก่อตั้งขึ้นเมื่อราวศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช ตามที่คัมภีร์บันทึกไว้ ระบุว่าภิกษุและภิกษุณีในสมัยพุทธกาลจะต้องอยู่โสด ใช้ชีวิตสมถะเรียบง่าย เน้นการเจริญสมาธิภาวนา ถือพรตจาริกไปเรื่อยๆ เป็นเวลา 9 เดือน และอยู่จำพรรษาอีก 3 เดือนในช่วงเข้าพรรษา แต่ในปัจจุบันบทบาทของคณะสงฆ์เปลี่ยนแปลงไปในบางประเทศ เช่น ในญี่ปุ่นและบางนิกายในเกาหลี อนุญาตให้นักบวชในพุทธศาสนาแต่งงานได้ นักบวชดังกล่าวจึงไม่ถือวัตรอย่างนักพรต (แต่ชีส่วนมากยังคงถือพรหมจรรย์) ส่วนนิกายเถรวาท เช่น พุทธศาสนาในประเทศไทย พม่า กัมพูชา และศรีลังกา ยังคงให้พระสงฆ์ใช้ชีวิตอย่างนักพรต (เรียกว่า ชีวิตอารามวาสี) โดยเฉพาะห้ามมิให้พระภิกษุแตะต้องกายสตรี หรือแม้แต่ทำงานอย่างทางโลก

neg:
พระสงฆ์
พระสงฆ์ หมายถึง หมู่สาวกของพระพุทธเจ้า ผู้ซึ่งฟังคำสั่งสอนของพระพุทธเจ้าแล้วเลื่อมใส สละเรือนออกบวช ถือวัตร ปฏิบัติ ตามพระธรรมวินัยที่พระบรมศาสดาสั่งสอนและกำหนดไว้

neg:
ประวัติศาสตร์ทิเบต
พุทธศาสนาในยุคนี้ได้รับการอุปถัมภ์จากกษัตริย์ทิเบตเป็นอย่างดี บางองค์เป็นนักปราชญ์รอบรู้พุทธธรรมลึกซึ้ง คือ พระเจ้าเสนาเล ซึ่งทรงสละราชสมบัติออกผนวชเป็นภิกษุ ใน พ.ศ. 1357 ได้มีการทำพจนานุกรมภาษาสันสกฤต-ทิเบต และในรัชสมัยของพระเจ้าราลปาเชน (พ.ศ. 1359) มีการเขียนประวัติศาสตร์ทิเบตเป็นฉบับแรก กษัตริย์พระองค์นี้มีพระราชศรัทธาอย่างแรงกล้าถึงกับสยายพระเกศารองเป็นอาสนะให้พระสงฆ์นั่งล้อมแสดงธรรมถวายพระองค์ พระสงฆ์ได้รับสิทธิพิเศษเป็นราชครู มีพระรูปหนึ่งมีผู้ถวายอาหารเจ็ดครอบครัว มีการลงโทษผู้ที่ไม่เคารพพระสงฆ์ สุดท้ายมีการลอบปลงพระชนม์ เนื่องจากพระองค์ทรงแต่งตั้งชาวพุทธให้ดำรงตำแหน่งทางการบริหาร หรือสนับสนุนพุทธศาสนาเกินไป จากนั้น พระเจ้าลางทรมาที่ทรงถือลัทธิบอนก็ครองราชย์ พระองค์ทรงตั้งตนเป็นปรปักษ์ต่อพุทธศาสนาอยู่หลายปี ได้ทำลายวัดวาอารามที่สำคัญสองแห่งในนครลาซา กำจัดพระสงฆ์โดยให้ลาสิกขา ต่อมามีพระสงฆ์แต่งตัวด้วยชุดดำ ทาม้าสีดำ สวมหมวกสีดำเข้ามาปะปนกับประชาชน ลอบปลงพระชนม์พระเจ้าลางทรมาสำเร็จ

neg:
พระเรวตพุทธเจ้า
เรวตะราชกุมารทรงบำเพ็ญความเพียรอยู่ ณ อโนมนิคม เป็นเวลา ๗ เดือน จนถึงวันเพ็ญเดือนวิสาขะ ทรงรับข้าวมธุปายาสจากนางสาธุเทวี และรับหญ้า ๘ กำจากอาชีวกผู้หนึ่ง ปูลาดใต้ต้นนาคะ (ต้นกากะทิง) เป็นโพธิบัลลังก์ และได้ตรัสรู้เป็นพระพุทธเจ้าในคืนนั้น พระเรวตะพุทธเจ้าทรงแสดงปฐมเทศนา แก่พระภิกษุผู้บรรพชาตามจำนวน ๑ โกฏิ ที่วิหารวรุณาราม ทำให้พระภิกษุ ๑ โกฏินั้น สำเร็จเป็นพระอริยบุคล

neg:
พระปุณณชิเถระ
พระปุณณชิเถระ เป็นบุตรแห่งเศรษฐีชาวเมืองพาราณสี ท่านเป็นสหายของยสกุลบุตร ซึ่งต่อมาบวชเป็นพระสงฆ์ในพระพุทธศาสนา ท่านทราบข่าวว่ายสกุลบุตรออกบวชจึงคิดว่าพระธรรมวินัยของเพื่อนเราคงไม่เลวทราม จึงไปชักชวนสหายพาไปหาพระยสะเพื่อออกบวช พระยสะจึงพาไปเข้าเฝ้าพระพุทธเจ้า ทรงสั่งสอนจนบรรลุเป็นพระอรหันต์ และไดส่งท่านเป็นพระสาวกรุ่นแรก ๆ ไปช่วยเผยแพร่พระพุทธศาสนา ท่านนับเป็นผู้มีส่วนสำคัญในการเผยแพร่พระพุทธศาสนาในช่วงต้นพุทธกาล

neg:
ภิกษุณีในประเทศจีน
ประวัติภิกษุณีสงฆ์ในประเทศจีน
ปลายปีรัชกาลย่งเจีย(หย่งเกีย)แห่งราชวงศ์จิ้น(พ.ศ.850-855) หญิงจีนมีนามว่า จิ้งเจี่ยน ตัดสินใจปลงผม และขอรับศีล10 จากพระอุปัชฌาย์ พระชญาณเมรุ มีผู้หญิงจีนศรัทธาและเข้ารับการบรรพชาพร้อมเธอ24คน แล้วก่อตั้ง อารามจู๋หลินซื่อ(เต๊กลิ้มยี่)แปลว่า วัดป่าไผ่ ขึ้นที่ประตูทางทิศตะวันตกของเมืองหลวง เนื่องจากบรรดาสามเณรีเหล่านี้ไม่มีปวัตตินี เธอจึงศึกษาธรรมอยู่กับพระอาจารย์จิ้งเจี่ยน ซึ่งเป็นผู้มีความสามารถในการสั่งสอนอบรม

neg:
อธิการ
อธิการของพระสงฆ์เรียกว่าพระสังฆาธิการ ซึ่งหมายถึงพระภิกษุผู้ดำรงตำแหน่งในการปกครองคณะสงฆ์ไทยตั้งแต่ระดับเจ้าคณะภาคลงมาจนถึงผู้ช่วยเจ้าอาวาส และเรียกเจ้าอาวาสที่ไม่มีสมณศักดิ์ว่าพระอธิการ เรียกเจ้าคณะตำบลหรือพระอุปัชฌาย์ที่ไม่มีสมณศักดิ์ว่าเจ้าอธิการ

neg:
พระราธเถระ
“ ข้าแต่พระผู้มีพระภาคเจ้า ข้าพระองค์ระลึกได้ พระเจ้าข้า คือ วันหนึ่ง ข้าพระองค์ได้เข้าไปบิณฑบาตในเมืองราชคฤห์ พราหมณ์ผู้นี้เคยได้ถวายอาหารข้าวสุกแก่ข้าพระองค์ ทัพพีหนึ่ง พระเจ้าข้า” พระบรมศาสดา ได้สดับแล้วตรัสยกย่องพระสารีบุตรเถระว่า เป็นผู้มีความกตัญญูกตเวที แล้วมอบราธพราหมณ์ให้ท่านเป็นพระอุปัชฌาย์ ดำเนินการบวชให้ และทรงประกาศยกเลิกการอุปสมบทด้วยวิธีไตรสรณคมน์ ที่พระองค์ทรงอนุญาตไว้แต่เดิมแล้ว ทรงอนุญาตการอุปสมบทด้วยวิธีญัตติจตุตถกรรมอันเป็นวิธีอุปสมบทโดยมีสงฆ์เป็นใหญ่ พระสารีบุตรเถระเป็นพระอุปัชฌาย์รูปแรกและพระราธะเป็นภิกษุผู้ได้รับการอุปสมบทด้วยวิธีนี้เป็นรูปแรก การอุปสมบทด้วยวิธีญัตติจตุตถกรรมนี้ได้ถือปฏิบัติสืบทอดมาจนถึงปัจจุบัน

neg:
พระอานนท์
ภายหลังจากพิธีถวายพระเพลิงพระพุทธสรีระแล้ว พระมหากัสสปเถระเจ้าได้ดำริจะให้มีการทำปฐมสังคายนาพระธรรมวินัย พระมหาเถระได้รับอนุมัติจากสงฆ์ให้เลือกพระภิกษุผู้เชี่ยวชาญในพระธรรมวินัย จำนวน 500 รูป เพื่อทำปฐมสังคายนา ท่านพระมหากัสสปเถระเลือกได้ 499 รูปอีกรูปหนึ่งท่านไม่ยอมเลือก ความจริงท่านต้องการจะเลือกเอาท่านพระอานนท์ แต่ขณะนั้นท่านพระอานนท์ยังไม่ได้เป็นพระอรหันต์ ครั้นจะเลือกท่านพระอานนท์ก็เกรงจะถูกครหาว่า ""เห็นแก่หน้า"" เพราะท่านรักพระอานนท์มาก แต่ครั้นจะเลือกภิกษุอื่น ไม่เลือกท่านพระอานนท์ ก็เกรงว่าการทำสังคายนาครั้งนี้จักไม่สำเร็จผลด้วยดี เพราะท่านพระอานนท์ได้รับยกย่องจากพระพุทธองค์ว่าเป็นพหุสูต เป็นธรรมภัณฑาคาริก จึงได้ระบุชื่อพระเถระอื่นๆ 499 รูป แล้วนิ่งเสีย ต่อเมื่อพระสงฆ์ลงมติว่าท่านพระอานนท์ควรจะเข้าร่วมทำสังคายนาครั้งนี้ด้วย ท่านจึงได้รับเข้าเป็นคณะสงฆ์ผู้จะทำสังคายนา ครบจำนวน 500 รูป

neg:
พระนิกเก็ง โชนิง
พระนิคเคนโชนิน เป็นพระสังฆราชองค์แรกและองค์เดียวของนิกายนิชิเรนโชชู ที่อยู่ในตำแหน่งสังฆราชจนถึงอายุ 80 พรรษา และได้ทำการสละตำแหน่งสังฆราชหลังจากดำรงตำแหน่งมาเป็นเวลานานถึง 27 ปี พระองค์เป็นผู้ฟื้นฟูวัดใหญ่ไทเซขิจิ ในด้านพิธีกรรมและประเพณีแบบดั้งเดิมทั้งหมดซึ่งมีหลายสิ่งที่ได้ถูกยกเลิกไปในสมัยของโซกางัคไค ในแง่มุมของผู้นับถือนิกายนิชิเรนโชชู พระนิคเคนโชนินได้ยึดมั่นว่า หลักธรรมของนิชิเรนโชชูน้นไม่อาจสามารถตีความเองโดยผู้นับถือได้ตามอำเภอใจ แต่ต้องยึดแบบดั้งเดิมตามแบบฉบับของพระนิชิเรนไดชนิน พระนิคเคนโชนิน ยังมีพระชนม์ชีพยืนยาวและได้คว่ำบาตรกลุ่มผู้นับถือที่ได้ตัดสินใจเลือกตีความหลักธรรมของนิชิเรนโชชูตามความคิดของตนถึง 3 กลุ่ม

neg:
ภิกษุณีจิ้งเจี่ยน
ภิกษุณีจิ้งเจี่ยน หรือ จิงเจียน เป็นภิกษุณีรูปแรกของประเทศจีน แห่งอารามจู๋หลินซื่อ เมืองลั่วหยาง
ภิกษุณีจิ้งเจี่ยนมีชื่อเดิมว่า หลิงยี่ แซ่จุง เป็นชาวเมืองเปิงเจิง บิดาแซ่ตัน เคยดำรงตำแหน่งข้าหลวงแห่งเมืองหวูเว่ จิ้งเจี่ยนเป็นผู้สนใจในการศึกษาเล่าเรียนมาแต่เด็ก เธอเป็นหม้ายตั้งแต่อายุยังน้อย และด้วยฐานะครอบครัวที่ยากจน เธอจึงรับจ้างสอนพิเศษให้แก่ลูกข้าราชการต่างๆโดยสอนดนตรี และการอ่านเขียน ต่อมา เมื่อเธอได้ฟังเกี่ยวกับคำสอนในพุทธศาสนา เธอจึงเกิดศรัทธา แต่ไม่สามารถหาอาจารย์ที่จะสอนเธอได้ ในเวลาต่อมา เมื่อเธอได้พบกับภิกษุฟาซื่อ ซึ่งเป็นอาจารย์ที่รอบรู้ในพุทธศาสนา และได้สร้างวัดขึ้นที่ประตูเมืองด้านตะวันตกของเมืองหลวงในสมัยเจียนซิง จิ้งเจี่ยนจึงไปนมัสการพระอาจารย์รูปนี้ ซึ่งเป็นผู้สอนธรรมะแก่เธอ ทำให้เธอเป็นผู้มีความตื่นในทางจิตวิญญาณ เธอได้ไตร่ตรองว่าเธอควรแสวงหาผลประโยชน์ในทางธรรมในขณะที่เธอยังมีสุขภาพดีอยู่และร่างกายแข็งแรง เธอจึงยืมพระสูตรในทางพุทธศาสนาจากพระอาจารย์ และเริ่มต้นศึกษาพระธรรมอย่างจริงจัง จนเข้าใจหลักธรรมในพุทธศาสนา

neg:
ศาสนาพุทธแบบทิเบต
ในทิเบตไม่เคยมีการประดิษฐานภิกษุณีสงฆ์ในประวัติศาสตร์ มีแต่พระภิกษุสงฆ์ หรือลามะ และสามเณรีเท่านั้น ดังที่ ปีเตอร์ สกีลลิง ผู้เชี่ยวชาญทิเบต และบาลีสันสกฤต ชี้แจงว่า ""ในหิมาวันตประเทศ ได้มีภิกษุนิกายมูลสรวาทสติวาทินเข้ามาเผยแผ่หลักธรรม ในคริสต์ศตวรรษที่ 8 (ประมาณ พ.ศ. 1300) แต่ไม่มีหลักฐานปรากฏว่าได้จัดพิธีอุปสมบทภิกษุณีสงฆ์เลย"" ทั้งนี้เพราะเหตุผลทางภูมิศาสตร์ การเดินทางไปทิเบตนั้นยากลำบากมากตามที่องค์ทะไลลามะกล่าวไว้ทำให้การบรรพชาอุปสมบทภิกษุณีที่ต้องมีปวัตตินี และกรรมวาจาจารย์ รวมทั้งภิกษุณีสงฆ์ และภิกษุสงฆ์อีกฝ่ายละ 10 รูป ในการบวชภิกษุณีอย่างน้อยต้องมี 22 รูปขึ้นไป จึงจะทำพิธีอุปสมบทกรรมได้ แต่สามเณรีในทิเบตมีมานานแล้ว ทั้งมีระบบการศึกษาพุทธธรรมที่เข้มข้นอีกด้วย แม้องค์ดาไลลามะที่ 14 แห่งทิเบต ที่ลี้ภัยในอินเดียในปัจจุบัน ยังได้กล่าวไว้ในคราวประชุมศากยธิดา สมาคมสตรีของชาวพุทธนานาชาติครั้งแรก ในเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2530 ณ พุทธคยา ประเทศอินเดีย ""เนื่องจากการเดินทางในอดีตลำบากมากภิกษุณีจึงไม่สามารถเดิมทางไปทิเบตได้ และเพราะไม่มีภิกษุณีวงศ์ในทิเบต พระสงฆ์ทิเบตจึงไม่ต้องอาบัติข้อที่เกี่ยวกับภิกษุณีตลอดไป นี้ถือว่าเป็นอานิสงส์ที่เราได้จากการไม่มีภิกษุณีในทิเบต"" แต่นอกเขตทิเบตอย่างประเทศเนปาล, ภูฏาน และบางส่วนของอินเดีย มีการบวชเป็นภิกษุณีสงฆ์ในศาสนาพุทธแบบทิเบตด้วย

neg:
พระปทุมพุทธเจ้า
พระปทุมะพุทธเจ้าทรงแสดงปฐมเทศนา แก่พระภิกษุผู้บรรพชาตามจำนวน ๑ โกฏิ ที่ธนัญชัยราชอุทยาน ใกล้กรุงธัญญวดี ทำให้พระภิกษุ ๑ โกฏินั้น สำเร็จเป็นพระอริยบุคคล

neg:
สมเด็จพระสังฆราช (ดี)
สมเด็จพระสังฆราช (ดี) แต่เดิมเป็นชาวกรุงศรีอยุธยา สมเด็จพระเจ้าตากสินมหาราช ได้ทรงมีพระบรมราชโองการ ให้สืบหาพระสงฆ์มาจัดการพระศาสนา จึงได้มีการอาราธนาพระอาจารย์ดี จากวัดประดู่โรงธรรม (วัดประดู่ทรงธรรม) มาอยู่ที่วัดบางหว้าน้อย (วัดอมรินทรารามวรวิหาร) แล้วสถาปนาเป็นสมเด็จพระสังฆราชพระองค์แรกแห่งกรุงธนบุรี เมื่อ พ.ศ. 2311 ปรากฎความในพงศาวดารว่า

neg:
พระอโนมทัสสีพุทธเจ้า
หลังจากศาสนาของพระโสภิตะพุทธเจ้าอันตรธานไป เป็นช่วงเวลาที่ว่างเว้นจากพระพุทธเจ้าถึงอสงไขยหนึ่ง เรียกว่า ชัยยะอสงไขย ล่วงมาถึงวรกัปหนึ่งมีพระพุทธเจ้ามาอุบัติ ๓ พระองค์ พระพุทธเจ้าองค์แรกทรงพระนามว่า พระอโนมทัสสีพุทธเจ้า

neg:
ตปุสสะ ภัลลิกะ
ตปุสสะ ภัลลิกะเป็นพ่อค้าสองพี่น้องชาวอุกกละชนบท เป็นบุตรของกฏุมพีในอสิตัญชนนคร ทั้งสองเป็นเทววาจิกอุบาสก (อ่านว่า ทฺ-เว-) ปฐมอุบาสกคู่แรกที่ยึดถือรัตนะ 2 คือถึงพระพุทธกับพระธรรม เป็นสรณะ ต่อพระพักตร์ของพระโคตมพุทธเจ้า เพราะช่วงนั้นพระพุทธเจ้ายังตรัสรู้ใหม่ๆ ยังไม่ได้ประกาศพระศาสนาและยังไม่มีพระภิกษุเลย และทรงกำลังเสวยวิมุติสุขหลังจากทรงตรัสรู้ตามที่ต่างๆในอุรุเวลาเสนานิคมเป็นเวลา 7 สัปดาห์ ตปุสสะและภัลลิกะได้รับเอตทัคคะเป็นเลิศกว่าอุบาสกทั้งหลาย ผู้ถึงสรณะก่อนใคร

neg:
ประวัติศาสนาพุทธ
ศาสนาพุทธเป็นศาสนาประเภทอเทวนิยม และเป็นศาสนาที่มีผู้นับถือมากศาสนาหนึ่งของโลก รองจากศาสนาคริสต์ ศาสนาอิสลาม และศาสนาฮินดู ประวัติความเป็นมาของศาสนาพุทธเริ่มตั้งแต่สมัยพุทธกาล ผู้ประกาศศาสนาและเป็นศาสดาของศาสนาพุทธคือพระสัมมาสัมพุทธเจ้า ทรงตรัสรู้เมื่อวันขึ้น 15 ค่ำ เดือนวิสาขะหรือเดือน 6 ณ ใต้ต้นพระศรีมหาโพธิ์ ตำบลอุรุเวลาเสนานิคม แคว้นมคธ ประเทศอินเดีย 45 ปี ก่อนพุทธศักราช ปัจจุบันสถานที่นี้ เรียกว่า พุทธคยา อยู่ห่างจากเมืองคยาประมาณ 11 กิโลเมตร ประวัติความเป็นมาของพุทธศาสนาหลังจากการประกาศศาสนา เริ่มจากการแพร่หลายไปทั่วอินเดีย หลังพุทธปรินิพพาน 100 ปี จึงแตกเป็นนิกายย่อย โดยนิกายที่สำคัญคือเถรวาทและมหายาน

neg:
ภิกษุ
ภิกษุ หรือ พระภิกษุ (บาลี: ภิกขุ; สันสกฤต: ภิกษุ) เป็นคำใช้เรียก "นักบวชชาย" ในพระพุทธศาสนาโดยเฉพาะ คู่กับภิกษุณี (นักบวชหญิง) คำว่า ภิกษุ เป็นศัพท์เฉพาะในพระพุทธศาสนา เป็นศัพท์บัญญัติที่ใช้เรียกนักบวชชายในพระพุทธศาสนาโดยเฉพาะ ไม่สาธารณะทั่วไปสำหรับทุกศาสนา มีความหมายว่า ผู้ขอ (ขออาหาร เป็นต้น)
และสามารถแปลว่า ผู้เห็นภัยในวัฏฏสงสาร ก็ได้ ดังรูปวิเคราะห์ว่า "วฏฺฏสํสาเร ภยํ อิกฺขตีติ ภิกฺขุ"

neg:
พระพุทธสิกขีทศพลที่ 1
พุทธศาสนิกชนบางกลุ่มในประเทศไทยเชื่อว่า พระพุทธสิกขีทศพลที่ 1 หรือ สมเด็จองค์ปฐม คือพระพุทธเจ้าที่ตรัสรู้พระอนุตรสัมมาสัมโพธิญาณเป็นพระองค์แรกในโลก เมื่ออสงไขยนับไม่ถ้วนก่อนหน้าพระโคตมพุทธเจ้าซึ่งเป็นพระพุทธเจ้าพระองค์ปัจจุบัน ข้อมูลเกี่ยวกับพระพุทธเจ้าพระองค์นี้ไม่ปรากฏในพระไตรปิฎกทั้งของนิกายเถรวาทและมหายาน

neg:
เขตปกครองคณะสงฆ์ตำบลคุ้งตะเภา
ก่อนที่จะมีการแยกเขตการปกครองคณะสงฆ์จากตำบลท่าเสามาตั้งเป็นเขตปกครองคณะสงฆ์ตำบลใหม่นั้น คณะสงฆ์ในตำบลคุ้งตะเภามีการศึกษาพระปริยัติธรรมมาก่อนแล้ว โดยในปี พ.ศ. 2500 วัดป่ากล้วยได้เคยเป็นสถานที่ตั้งของสำนักเรียนพระปริยัติธรรมแห่งแรกของตำบลคุ้งตะเภา โดยได้ก่อตั้งขึ้นตามดำริของพระมหาจรูญ คุตฺตจิตฺโต (พรหมน้อย) ซึ่งทำให้หลังจากนั้นไม่นาน พระมหาปรีชา ปริญฺญาโณ (คืนประคอง) ลูกศิษย์ของพระมหาจรูญที่เป็นคนบ้านป่ากล้วย ได้เข้าอุปสมบทและศึกษาพระปริยัติธรรมจนสอบได้เป็นพระภิกษุเปรียญธรรม ๙ ประโยค เป็นรูปแรกของจังหวัดอุตรดิตถ์

neg:
พระสงฆ์
ภิกขุสงฆ์ หรือที่สมัยหลังนิยมเรียกว่า สมมุติสงฆ์ คือ หมู่ภิกษุ ที่ได้รับการอุปสมบทตามพระบรมพุทธานุญาต จากพระเถระตั้งแต่ 4 รูปขึ้นไปเรียกว่าสงฆ์ เนื่องจากคำว่าสงฆ์แปลว่าหมู่ จึงเรียกหมู่พระภิกษุว่าภิกษุสงฆ์ และหมู่พระภิกษุณีว่าภิกษุณีสงฆ์ จัดเป็น 4 วรรค ตามตามพระบรมพุทธานุญาตให้ทำสังฆกิจตามพระวินัย คือ จตุวรรค 4 รูป ปญฺจวรรค 5 รูป ทสวรรค 10 รูป วิสติวรรค 20 รูป แต่ถ้าพระภิกษุ 2-3 รูป เรียกว่า คณะ (เนื่องจากแบ่งพวกกันฝ่ายละ 2 รูปมิได้) ถ้าพระภิกษุรูปเดียว จัดเป็นบุคคล

neg:
พระธรรมวิโรจนเถร (พลับ ฐิติกโร)
พ.ศ. 2490 ได้รับแต่งตั้งให้เป็นเจ้าอาวาสวัดธรรมบูชาและต่อมาได้รับแต่งตั้งให้เป็นเจ้าคณะธรรมยุตจังหวัดสุราษฎร์ธานี เมื่อวัดธรรมบูชาได้รับพระราชทานยกฐานะขึ้นเป็นพระอารามหลวง ต่อมาท่านจึงได้รับพระราชทานสมณศักดิ์ เป็นพระราชาคณะยก ฝ่ายวิปัสสนา ที่พระธรรมวิโรจนเถร นับเป็นเจ้าอาวาสวัดธรรมบูชา พระอารามหลวง รูปแรก

neg:
วันอาสาฬหบูชา
พระสงฆ์ที่อุปสมบทในช่วงแรกหลังพระพุทธเจ้าประกาศปฐมเทศนา นอกจากท่านพระโกณฑัญญะเถระที่เป็นพระสงฆ์องค์แรกแล้ว คือ กลุ่มปัญจวัคคีย์ที่เหลือ ได้แก่พระวัปปะเถระ พระภัททิยะเถระ พระมหานามะเถระ และพระอัสสชิเถระ และนอกจากนี้ยังมีท่านพระยสะเถระ บุตรแห่งตระกูลมหาเศรษฐีเมืองพาราณสี และบรรดาสหายของท่านที่เป็นบุตรแห่งมหาเศรษฐีอีก 45 ท่าน ในจำนวนนั้นทราบชื่อ 4 ท่าน คือ พระวิมละเถระ, พระสุพาหุเถระ, พระปุณณชิเถระ และพระควัมปติเถระ ทั้งหมดเป็นพระอรหันต์รุ่นแรกในพระพุทธศาสนา รวมช่วงแรกแห่งการเผยแพร่ศาสนาของพระพุทธองค์ มีพระอรหันต์ (รวมพระพุทธเจ้า) อุบัติขึ้นในโลกทั้งสิ้น 61 องค์

neg:
พญาพล
พญาพล ได้สร้างวัดหลวงสมเด็จขึ้นเป็นวัดแห่งแรกของเมืองนครแพร่ อยู่ห่างจากสะดือเมืองไปทางทิศตะวันตก ประมาณ 200 เมตร เพื่อให้วัดเป็นศูนย์รวมศรัทธาของพุทธศาสนิกชนในการประพฤติปฏิบัติตนในทาง ที่ถูกต้องดีงามตามหลักคำสอนของสมเด็จพระสัมมาสัมพุทธเจ้า นับได้ว่าพ่อขุนหลวงพลได้ ยึดหลักคำสอนของพระพุทธศาสนาเป็นแนวทางสำคัญในการส่งเสริมสนับสนุนให้ผู้คนพลเมือง อยู่ร่วมกันอย่างสันติสุข ซึ่งจะเป็นกำลังอันสำคัญในการทนุบำรุงบ้านเมืองให้มีความมั่นคงเป็น ปึกแผ่น และเป็นบ้านเป็นเมืองมาตราบเท่าทุกวันนี้

neg:
นักบุญเจอโรมเขียนหนังสือ (คาราวัจโจ)
ในขณะที่ฝ่ายโปรเตสแตนต์ต้องการจะแปลพระคัมภีร์ไบเบิลเป็นภาษาท้องถิ่นเพื่อเป็นการเผยแพร่พระวจนะของพระเจ้าแก่บรรดาผู้นับถือคริสต์ศาสนาโดยทั่วไป ฝ่ายโรมันคาทอลิกก็พยายามในการต่อสู้เพื่อที่ให้เหตุผลในการสนับสนุนการรักษาการใช้ภาษาละตินที่แปลโดยนักบุญเจอโรมในปลายคริสต์ศตวรรษที่ 4 ต่อไป นักบุญเจอโรมได้ทำการรับศีลจุ่มจากพระสันตะปาปาองค์หนึ่ง, ได้รับมอบหน้าที่ให้เป็นผู้แปลโดยพระสันตะปาปาอีกองค์หนึ่ง และประกาศว่านักบุญปีเตอร์เป็นพระสังฆราชองค์แรกของโรม นักบุญเจอโรมเป็นผู้มีอิทธิพลมากที่สุดองค์หนึ่งในบรรดาคริสต์ศาสนปราชญ์ในการต่อต้านผู้นอกศาสนา ในการโจมตีลัทธินิยมนักบุญ และในการจำกัดการเรียนรู้ภาษาละตินให้อยู่ในวงของผู้มีการศึกษา ฉะนั้นภาพนี้จึงเป็นภาพที่เหมาะสมในการภาพแรกที่สคิปิโอเน บอร์เกเซซื้อไม่นานหลังจากที่ได้รับการแต่งตั้งให้เป็นคาร์ดินัลในปี ค.ศ. 1605 โดยสมเด็จพระสันตะปาปาปอลที่ 5 ผู้เป็นลุง

neg:
สมเด็จพระสังฆราชไทย
สมเด็จพระสังฆราช เป็นตำแหน่งที่มีมาตั้งแต่สมัยกรุงสุโขทัย ดังมีหลักฐานจากศิลาจารึกของพ่อขุนรามคำแหงมหาราช ได้จารึกคำว่าสังฆราชไว้ด้วย
สมเด็จพระสังฆราช สกลมหาสังฆปริณายก เป็นตำแหน่งสมณะศักดิ์สูงสุดฝ่ายพุทธจักรของคณะสงฆ์ราชอาณาไทย ทรงเป็นองค์ประธานการปกครองคณะสงฆ์ ตำแหน่งนี้น่าจะมีที่มาจากคณะสงฆ์ไทย นำแบบอย่างมาจาก ลัทธิลังกาวงศ์ ซึ่งพ่อขุนรามคำแหงมหาราช ได้ทรงอัญเชิญพระเถระผู้ใหญ่ของลังกา ที่เชี่ยวชาญในพระไตรปิฎก เข้ามาเผยแผ่พระพุทธศาสนาฝ่ายเถรวาทในประเทศไทย

neg:
ศาสนาพุทธแบบทิเบต
ใน พ.ศ. 976 พระเจ้าลาโธ โธรี เย็นเซ เป็นกษัตริย์ทิเบตองค์แรกที่นับถือพระพุทธศาสนา ได้รับเครื่องบรรณาการจากตัวแทนชาวอินเดีย โดยนำคัมภีร์พระพุทธศาสนา และพระพุทธรูปเข้ามาในทิเบต ถือว่าเป็นครั้งแรกที่คนทิเบตได้รู้จักกับพระพุทธศาสนา แต่ก็ยังไม่เป็นที่แพร่หลายเท่าใดนัก เพราะชาวทิเบตยังนับถือลัทธิบอนซึ่งมีความเชื่อเรื่องภูติผีปีศาจอยู่มาก ชาวทิเบตเป็นชนชาติที่ชอบสงคราม ไม่มีอารยธรรมชั้นสูงเหมือนชนชาวเขาทั่วไป แต่ด้วยอิทธิพลของพุทธศาสนาจึงทำให้ทิเบตกลายเป็นผู้ใฝ่สันติสุข และเป็นชาวเขาที่มีอารยธรรมสูงส่งจนถึงมีอักขระพิเศษเพื่อพระศาสนา โดยนำแบบอย่างมาจากอักษรอินเดีย จากนั้นมาพระพุทธศาสนาจากอินเดียก็เข้าถึงทิเบตครั้งแรกเมื่อราวพุทธศตวรรษที่ 12 และประดิษฐานมั่นคงในพุทธศตวรรษที่ 16

neg:
พระโคตมพุทธเจ้า
ในวันที่พระสารีบุตรบรรลุพระอรหันต์ ตรงกับวันขึ้น 15 ค่ำ เดือนมาฆะ (วันมาฆบูชา) ในตอนบ่ายพระพุทธเจ้าทรงประกาศแต่งตั้งพระสารีบุตรเป็นอัครสาวกเบื้องขวาเลิศกว่าผู้อื่นในทางปัญญา พระมหาโมคคัลลานะเป็นอัครสาวกเบื้องซ้ายเลิศกว่าภิกษุรูปอื่นในฐานะมีฤทธิ์ล้ำเลิศ เมื่อล่วงค่ำพระสงฆ์ 1,250 รูปจึงมาถึงวัดพระเวฬุวัน พระพุทธเจ้าจึงทรงประทานโอวาทปาติโมกข์แก่ทั้งหมด รวมทั้งอัครสาวกทั้ง 2
พระพุทธเจ้าทรงยกย่องพระสารีบุตรว่าเป็นเอตทัคคะผู้เลิศกว่าภิกษุรูปอื่นในทางปัญญา เป็นผู้สามารถจะแสดงพระธรรมจักรและพระจตุราริยสัจให้กว้างขวางพิสดารเสมอพระองค์ เมื่อมีภิกษุมาทูลลาพระพุทธเจ้าเพื่อจะเที่ยวจาริกไป พระพุทธเจ้ามักจะตรัสให้ภิกษุที่มาทูลลา ไปลาพระสารีบุตรก่อน เพื่อให้พระสารีบุตรได้สั่งสอน เช่นครั้งหนึ่ง พระพุทธเจ้าประทับอยู่ที่เมืองเทวทหะ ภิกษุเป็นจำนวนมากได้เข้าเฝ้าพระพุทธเจ้าเพื่อทูลลาไปชนบท พระพุทธเจ้าก็ตรัสสั่งให้ไปลาพระสารีบุตร แล้วทรงยกย่องว่าพระสารีบุตรเป็นผู้มีปัญญา อนุเคราะห์เพื่อนบรรพชิตทั้งหลาย เปรียบเสมือนมารดาผู้ให้กำเนิด ย่อมแนะนำให้ตั้งอยู่ในโสดาปัตติผล พระสารีบุตรได้รับการยกย่องมีชื่ออีกอย่างหนึ่งว่า "พระธรรมเสนาบดี" พระสงฆ์ผู้ประกาศพระศาสนา ได้ชื่อว่าธรรมเสนา เป็นกองทัพธรรมที่ประกาศเผยแผ่ธรรม เมื่อไปถึงที่ไหน ก็ทำให้เกิดประโยชน์และความสุขที่นั่น พระพุทธเจ้าเป็นจอมธรรมเสนา เรียกว่า "พระธรรมราชา" โดยมีพระสารีบุตรเป็นพระธรรมเสนาบดี หรือแม่ทัพฝ่ายธรรม

neg:
ภิกษุ
การอุปสมบทแบบนี้ทรงประทานแก่พระอัญญาโกณฑัญญะเป็นท่านแรก จึงถือว่าท่านเป็นปฐมสาวกหรือเป็นปฐมภิกษุในพระพุทธศาสนา ต่อมาเมื่อมีผู้มาขอบวชมากขึ้นได้ทรงเลิกวิธีอุปสมบทแบบนี้ ทรงเปลี่ยนเป็นวิธีติสรณคมนูปสัมปทา และเป็นวิธีญัตติจตุตถกรรมวาจาซึ่งใช้มาจนถึงปัจจุบัน

neg:
พระนารทสัมพุทธเจ้า
องค์แรก คือ พระนารทพุทธเจ้า

neg:
พระปทุมุตรพุทธเจ้า
เมื่อพระพุทธองค์พร้อมพระสาวกเสด็จกลับ ชายหนุ่มจึงทำบุญทำทานทำนุบำรุงพระพุทธศาสนา อุปัฏฐากพระภิกษุสามเณรจนสิ้นอายุขัย แสนกัปต่อมาชายหนุ่มผู้นี้จึงได้เป็นหมอชีวกโกมารภัจจ์ แพทย์ประจำพระองค์พระพุทธโคดมสัมมาสัมพุทธเจ้า พระพุทธเจ้าองค์ปัจจุบันของเราสำเร็จตามความปรารถนา

neg:
เด็กวัด
เด็กวัด เป็นเด็กชายในประเทศไทยซึ่งอาศัยอยู่ในวัดและคอยรับใช้พระสงฆ์ โดยเด็กวัดจะคอยถือบาตรของพระสงฆ์ในช่วงการบิณฑบาตยามเช้า หลังจากนั้น เด็กวัดจะมีหน้าที่จัดเตรียมอาหารของพระสงฆ์ก่อนที่จะรับประทานอาหารที่เหลือจากพระฉันเสร็จ ("ข้าวก้นบาตร") เด็กวัดเป็นผู้ถือศีล 10 ประการ เด็กชายบางคนถูกส่งมาเป็นเด็กวัดเพื่อประกอบความดี บ้างก็ถูกส่งมาเพราะมีที่พักและอาหารโดยไม่เสียค่าใช้จ่าย เด็กวัดบางคนถูกพระเก็บมาเลี้ยงเนื่องจากไร้พ่อแม่ขาดมิตร ในขณะที่บางส่วนถูกส่งมาเพื่อศึกษาธรรม เด็กวัดบางส่วนบวชเป็นพระ และบ้างก็อาจถือว่าเด็กวัดเป็นขั้นตอนอย่างเป็นทางการสำหรับการบวชเป็นสามเณร ขึ้นอยู่กับอายุและประเพณีท้องถิ่น

neg:
กะเทย
ศาสนาพุทธเรียกกะเทยว่า บัณเฑาะก์ ในพระวินัยปิฎกใช้คำนี้หมายถึงบุรุษที่พอใจมีเพศสัมพันธ์กับบุรุษโดยมีความรู้สึกตนเหมือนเป็นสตรี ในสมัยพุทธกาลได้มีกะเทยบวชเป็นภิกษุ แล้วไปชวนภิกษุสามเณรมีเพศสัมพันธ์ แต่ถูกภิกษุสามเณรเหล่านั้นขับไล่ ภิกษุกะเทยจึงไปชวนพวกคนเลี้ยงช้างและคนเลี้ยงม้ามีเพศสัมพันธ์ด้วย เมื่อคนเลี้ยงช้างคนเลี้ยงม้าเหล่านั้นมีเพศสัมพันธ์กับภิกษุกะเทยแล้วก็ไปโพนทะนาว่า ภิกษุในพระพุทธศาสนานี้ถ้าไม่ใช่กะเทย ก็เคยมีเพศสัมพันธ์กับกะเทย ภิกษุได้ยินจึงนำเรื่องกราบทูลพระพุทธเจ้า พระองค์จึงรับสั่งมิให้อุปสมบทกะเทยอีก กะเทยที่อุปสมบทแล้วก็ให้สึกเสีย กะเทยจึงเป็นบุคคลจำพวกแรกในบุคคล 11 จำพวกที่ไม่ทรงอนุญาตให้อุปสมบท

neg:
พระสงฆ์
สาวกสงฆ์ หรือที่สมัยหลังนิยมเรียกว่า อริยสงฆ์ คือหมู่พระอริยบุคคล ไม่ว่าเป็นคฤหัสถ์หรือบรรพชิต ไม่ว่าเป็นมนุษย์หรือเทวดา ที่เป็นสาวกของพระพุทธเจ้า โดยการบรรลุมรรคผล อริยบุคคล 4 ประเภท คือ

neg:
ภิกษุณีในประเทศจีน
ระหว่างปลายปีรัชกาลเสียนคัง ในราชวงศ์จิ้น(พ.ศ.878-885)พระสมณะเซิงเจี้ยน ได้รับคัมภีร์ต้นฉบับมหาสังฆิกภิกษุณีกรรม และ ภิกษุณีปราติโมกข์ มาจากอาณาจักรง้วยสี และได้แปล(จากภาษาสันสกฤต)เป็นภาษาจีน ในวันที่8 เดือน2 ปีที่1 ในปีรัชกาลเซิงผิง(พ.ศ.900-904)ในเมืองลั่วหยาง พระอาจารย์ชาวต่างประเทศคือ พระสมณะธรรมคุปต์ได้กำหนดเขตสีมา ศีลมณฑล เพื่อการบรรพชาอุปสมบทภิกษุณีขึ้น แต่พระอาจารย์จีนชื่อ สมณะซือเต้าฉาง โต้แย้ง โดยอ้างว่าการกระทำดังกล่าวไม่ถูกต้องตามพระวินัยบัญญัติดังปรากฏในวินัยสูตร ดังนั้น จึงได้ตระเตรียมเรือลอยกลางแม่น้ำซื่อ จิ้งเจี่ยน พร้อมผู้หญิงอีก3คนจึงขึ้นไปบนเรือนั้น และได้รับศีลภิกษุณีจากพระภิกษุ นับเป็นหญิงจีนคนแรกที่ได้รับการบรรพชาอุปสมบทเป็นภิกษุณีในประเทศจีน

neg:
ประวัติศาสนาพุทธ
พุทธศาสนาเข้าสู่อังกฤษครั้งแรกเมื่อ พ.ศ. 2448 โดย J.R. Jackson เป็นผู้ก่อตั้งพุทธสมาคมในอังกฤษ และ Charls Henry Allen Bernett ผู้ซึ่งต่อมาบวชเป็นพระภิกษุในพม่า มีฉายาว่า "อานันทเมตเตยยะ" เป็นพระภิกษุชาวอังกฤษคนแรก คณะสงฆ์ไทยส่งคณะทูตไปเผยแผ่ครั้งแรกเมื่อ พ.ศ. 2507 และได้สร้างวัดไทยชื่อวัดพุทธปทีปในลอนดอน

neg:
วัดเวฬุวันมหาวิหาร
คำว่า เวฬุวัน แปลว่าสวนไผ่ เดิมอารามแห่งนี้เป็นพระราชอุทยานของพระเจ้าพิมพิสาร กษัตริย์แคว้นมคธ ตั้งอยู่นอกเมืองราชคฤห์ เมื่อพระพุทธเจ้าตรัสรู้แล้วได้เสด็จไปยังเมืองราชคฤห์ พระเจ้าพิมพิสารพร้อมด้วยข้าราชบริพารเข้าไปเฝ้า หลังจากทรงสดับธรรมแล้วทรงเลื่อมใสจึงถวายสวนเวฬุวันเป็นพุทธบูชา ด้วยทรงเห็นว่าเป็นที่สงบร่มรื่น เหมาะสำหรับอยู่บำเพ็ญธรรมของพระสงฆ์ ถือกันต่อมาว่าสถานที่นี้เป็นวัดแห่งแรกในพระพุทธศาสนา เรียกว่า วัดเวฬุวันมหาวิหาร นอกจากนี้วัดนี้ยังเป็นสถานที่พระพุทธเจ้าแสดงโอวาทปาติโมกข์แก่พระสาวกจำนวน 1,250 รูป แล้วส่งไปเป็นพระธรรมทูตประกาศพระศาสนา อันเป็นที่มาของวันมาฆบูชา

neg:
พระโคตมพุทธเจ้า
เมื่อถึงแม่น้ำเนรัญชรา ก็ได้พบกับชฎิล 3 พี่น้องได้แก่ อุรุเวลกัสสปะ นทีกัสสปะ และคยากัสสปะ และบริวาร 1,000 คน (อุรุเวลฯ 500 คน, นทีฯ 300 คน และคยาฯ 200 คน) ซึ่งเป็นนักบวชลัทธิบูชาไฟ และเป็นที่เคารพบูชาของชาวกรุงราชคฤห์ ในครั้งแรก พระพุทธองค์ทรงแสดงปาฏิหาริย์โดยการปราบพญานาคให้มีขนาดเล็ก ครั้งที่สองทรงแสดงพุทธานุภาพ คือมีเทวดามาเข้าเฝ้า และครั้งสุดท้ายทรงแสดงนิมิตจงกรมกลางน้ำ แต่ถึงอย่างไร อุรุเวลกัสปะก็ไม่เลื่อมใสอยู่ดี จนพระพุทธองค์ต้องแสดงธรรมโปรด ทำให้อุรุเวลกัสสปะเกิดความเลื่อมใสขอบวชเป็นพระสาวก พระพุทธเจ้าจึงทรงให้อุรุเวลฯ ไปชี้แจงแก่บริวาร 500 คนให้รับทราบ บริวารทั้งหมดรับทราบและขอบวชจากพระพุทธเจ้า จากนั้น เรื่องจึงได้ทราบถึงนทีฯ ซึ่งมีบริวาร 300 คน และคยาฯ ซึ่งมีบริวาร 200 คน ชฎิลทั้ง 2 และบริวารทั้งหมดจึงขอบวชตาม พระพุทธองค์ทรงประทานเอหิภิกขุอุปสัมปทา จากนั้น พระพุทธเจ้าทรงพาทั้ง 1,003 รูปไปที่คยาสีสะ แล้วทรงแสดงธรรม อาทิตตปริยายสูตร แก่ชฎิลทั้ง 3 และบริวาร ทั้งหมดจึงได้บรรลุเป็นพระอรหันต์

neg:
พระอวโลกิเตศวรโพธิสัตว์
การอุบัติของพระอวโลกิเตศวรนี้สันนิษฐานว่ามีขึ้นภายหลังการเกิดนิกายมหายานขึ้นแล้วในราวพุทธศตวรรษที่ 6-7 ภายหลังพุทธปรินิพพาน ซึ่งเมื่อตรวจสอบจากวรรณคดีสันสกฤตยุคต้น ๆ ของมหายานอย่าง ชาดกมาลา ทิวยาวทาน หรือลลิตวิสตระ ก็ยังไม่ปรากฏนามพระอวโลกิเตศวรโพธิสัตว์แต่อย่างใด แต่มีปรากฏขึ้นครั้งแรกพร้อม ๆ กับพระมัญชุศรีโพธิสัตว์ในพระสูตรปรัชญาปารมิตาซึ่งถือว่าเป็นพระสูตรมหายานรุ่นเก่าที่สุด และในพระสูตรรุ่นต่อ ๆ มาก็ได้มีเรื่องราวเกี่ยวกับพระโพธิสัตว์พระองค์นี้ปรากฏขึ้นมากมาย

neg:
ปรีดี พนมยงค์
ปรีดีเป็นผู้มีบทบาทในการเปลี่ยนแปลง พระราชบัญญัติคณะสงฆ์ จากฉบับ ร.ศ. 121 (พ.ศ. 2445) มาเป็น พระราชบัญญัติสงฆ์ พ.ศ. 2484 ทำให้การปกครองสงฆ์เป็นประชาธิปไตย อนุวัตรคล้อยตามการปกครองของบ้านเมืองไปด้วย แต่ พระราชบัญญัติสงฆ์ พ.ศ. 2484 ใช้ได้เพียง 20 ปี ก็มีเหตุการณ์ไม่ราบรื่นเกิดขึ้นในสังฆมณฑลอย่างจงใจ จนนำคณะสงฆ์กลับไปสู่การปกครองระบอบเผด็จการโดยคณะเดียว ภายใต้ พระราชบัญญัติสงฆ์ พ.ศ. 2505

neg:
ศาสนาพุทธแบบทิเบต
พระศานตรักษิตได้กลับไปอินเดีย แล้วอาราธนาพระปัทมสัมภวะ พระราชโอรสของพระเจ้าอินทรภูมิ แห่งแคว้นอุทยานซึ่งปัจจุบันอยู่ในประเทศอัฟกานิสถาน ให้ไปเผยแผ่พุทธศาสนาลัทธิตันตระซึ่งถูกกับอัธยาศัยของประชาชน ท่านมีความชำนาญในเรื่องไสยศาสตร์สามารถปราบปีศาจ และทำให้ภูติผีปีศาจกลับมาสนับสนุนปกป้องพระพุทธศาสนาด้วย เหตุการณ์จึงสงบประชาชนฝ่ายข้าราชการ และฝ่ายราชสำนักก็ยอมรับนับถือท่านว่าเป็น คุรุรินโปเช คือพระอาจารย์ใหญ่ของพวกเขา ท่านปัทมสัมภวะได้สร้างวัดในพุทธศาสนาแห่งแรกของทิเบตในนาม วัดสัมเย ตามความเชื่อของอินเดียที่มีเขาพระสุเมรุอยู่ตรงกลาง มีอารามอยู่ 4 ทิศ และมีอารามด้านนอกอีกแปดทิศ เป็นสัญลักษณ์ของทีปในจักรวาล มีอีกวัดทางตะวันออก และตะวันตกเฉียงเหนือเป็นสัญลักษณ์พระจันทร์ และพระอาทิตย์ ในวัดนี้มีห้องสมุด ห้องนั่งสมาธิโดยอาจารย์สอนสมาธิจากจีน

neg:
มหาเถรสมาคม
มหาเถรสมาคมเป็นถ้อยคำที่ใช้ครั้งแรกใน "พระราชบัญญัติลักษณะปกครองคณะสงฆ์" (ร.ศ. 121) อันตราขึ้นในรัชกาลพระบาทสมเด็จพระจุลจอมเกล้าเจ้าอยู่หัว คำว่า "เถระ" หมายถึง "พระผู้ใหญ่, ตามพระวินัยกำหนดว่า พระมีพรรษาตั้งแต่สิบขึ้นไป เรียกว่า พระเถระ" โดยตาม"พระราชบัญญัติลักษณะปกครองคณะสงฆ์" (ร.ศ. 121) มาตรา 4 ให้เรียกสมเด็จเจ้าคณะใหญ่ และพระสงฆ์ชั้นผู้ใหญ่ตำแหน่งต่าง ๆ ว่า "มหาเถระ" และมหาเถระเหล่านี้จะประชุมกันเพื่อถวายความเห็นแก่พระมหากษัตริย์ในเรื่องพุทธศาสนาตามที่ทรงปรึกษา ที่ประชุมนี้เรียกว่า "มหาเถรสมาคม" โดยต้องมีมหาเถระอย่างน้อยห้ารูปมาประชุม จึงจะเป็นองค์ประชุม "พระราชบัญญัติลักษณะปกครองคณะสงฆ์" (ร.ศ. 121) ไม่ได้ใช้บังคับทันที แต่จะมีประกาศให้ใช้บังคับในมณฑลต่าง ๆ เป็นรายมณฑลเรื่อยไปจนทั่วประเทศสยาม (ต่อมาเปลี่ยนชื่อเป็น ประเทศไทย)

neg:
พระสิขีพุทธเจ้า
เมื่อพระชนมายุได้ 7,000 พรรษา ได้ทอดพระเนตรเห็นเทวทูต 4 จึงตัดสินพระทัยทรงช้างต้นออกผนวช ข้าราขบริพาร 137,000 คน ตามเสด็จออกบวชด้วย บำเพ็ญอยู่ 8 เดือนจึงตรัสรู้ แล้วออกประกาศพระศาสนา ทรงตั้งพระอภิภูและพระสัมภวะเป็นพระอัครสาวก พระเขมังกรเป็นพระพุทธอุปัฏฐาก พระสขิลาและพระปทุมาเป็นคู่พระอัครสาวิกา

neg:
พระอัสสชิเถระ
ท่านก็ถือว่าเป็นผู้มีส่วนสำคัญในการช่วยพระพุทธเจ้าเผยแพร่พระพุทธศาสนาในช่วงต้นพุทธกาล เป็นพระสงฆ์กลุ่มแรกที่พระพุทธเจ้าทรงส่งออกไปประกาศพระพุทธศาสนา ท่านเป็นผู้มีกิริยามารยาทน่าเลื่อมใสมาก จนทำให้อุปติสสะมาณพ บุตรแห่งนายบ้านนาลันทาเกิดความเลื่อมใสและยอมตนบวชในพระพุทธศาสนา ท่านเป็นผู้กล่าวพระคาถาสำคัญในพระพุทธศาสนาคือพระคาถาที่รู้จักกันดีว่าคือพระคาถา "เย ธมฺมา" พระคาถานี้ได้รับการยกย่องว่าเป็นพระคาถาสำคัญบทหนึ่งในพระพุทธศาสนา เพราะกล่าวถึงความเป็นเหตุผลและจุดมุ่งหมายในพระพุทธศาสนาไว้ในคาถาเดียว คาถานี้ได้รับการยอมรับมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสมัยทวารวดี พระคาถาจำนวน 4 บาทนี้ได้ถูกนำมาจารึกลงและบรรจุไว้ในพระเจดีย์ในฐานะองค์แทนแห่งพระพุทธศาสนา พระคาถาของท่านมีดังนี้

neg:
ปางภัตตกิจ
ในครั้งเมื่อพระพุทธเจ้าได้โปรดยสกุลบุตรผู้หนีความวุ่นวายในเรือน ออกมา ณ ป่าอิสิปตนมฤคทายวัน ได้ฟังพระธรรมเทศนาจากพระสัมมาสัมพุทธเจ้าจนได้ดวงตาเห็นธรรม เป็นพระโสดาบัน ต่อมาพระพุทธองค์ทรงแสดงธรรมโปรดบิดาของยสกุลบุตรได้แสดงตนเป็นอุบาสกขอถึงพระรัตนตรัยเป็นที่พึ่ง นับเป็นปฐมอุบาสกผู้ขอถึงพระรัตนตรัยเป็นที่พึ่งคนแรกในพระพุทธศาสนา การเทศนาครั้งที่ 2 นี้ ยังผลให้ยสกุลบุตร ผู้นั่งฟังอยู่ด้วยบรรลุอรหัตผล พระพุทธองค์ทรงประทานเอหิภิกขุอุปสัมปทาให้ยสกุลบุตร วันต่อมาทรงรับนิมนต์ไปเสวยภัตตาหารที่บ้านบิดาพระยสะ นับเป็นครั้งแรกที่เสด็จไปเสวยภัตตาหารตามบ้านและได้ทรงแสดงธรรมโปรดมารดาและภรรยาเก่าของพระยสะ จนได้ดวงตาเห็นธรรม เป็นพระโสดาบันและขอถึงพระรัตนตรัยเป็นที่พึ่งเป็นอุบาสิกาคู่แรกในพระพุทธศาสนา

neg:
สมเด็จพระวันรัต (จ่าย ปุณฺณทตฺโต)
สมเด็จพระวันรัต นามเดิม จ่าย ฉายา ปุณฺณทตฺโต เป็นสมเด็จพระราชาคณะ เจ้าอาวาสรูปแรกของวัดเบญจมบพิตรดุสิตวนารามราชวรวิหาร และอดีตเจ้าคณะใหญ่หนใต้

neg:
สมเด็จพระสังฆราช (ดี)
สมเด็จพระสังฆราช (ดี) เป็นสมเด็จพระสังฆราชไทยพระองค์แรกในสมัยกรุงธนบุรี สถิต ณ วัดอมรินทรารามวรวิหาร ในรัชสมัยสมเด็จพระเจ้ากรุงธนบุรี ทรงดำรงตำแหน่งเมื่อปี พ.ศ. 2311 หลังจากสมเด็จพระเจ้ากรุงธนบุรีทรงปราบดาภิเษกขึ้นครองราชย์ สิ้นพระชนม์เมื่อปี พ.ศ. 2319 ดำรงตำแหน่งอยู่ 8 ปี

neg:
อาสนวิหารแคนเทอร์เบอรี
นักบุญบีด (Bede the Venerable) กล่าวไว้ในจดหมายเหตุ “ประวัติศาสตร์คริสตจักรของชาวอังกฤษ” ("The Ecclesiastical History of the English People") ว่านักบุญออกัสตินเป็นผู้ก่อตั้งอาสนวิหารแคนเทอร์เบอรี และท่านเป็นบิชอปองค์แรกของอาสนวิหารนั้น การสำรวจทางโบราณคดีเมื่อปีค.ศ. 1993 พบร่องรอยของโบสถ์แบบแซกซันใต้ฐานโบสถ์ ซึ่งสร้างทับสิ่งก่อสร้างแบบโรมัน โบสถ์แรกอุทิศให้กับนักบุญเซเวียร์ (St. Saviour)

neg:
สมเด็จพระมหาสมณเจ้า กรมพระปรมานุชิตชิโนรส
ในปี พ.ศ. 2533 องค์การการศึกษา วิทยาศาสตร์ และวัฒนธรรมแห่งสหประชาชาติ (ยูเนสโก) ได้ประกาศยกย่องสมเด็จพระมหาสมณเจ้า กรมพระปรมานุชิตชิโนรสเป็นบุคคลผู้มีผลงานดีเด่นด้านวัฒนธรรมระดับโลก ประจำปี พ.ศ. 2533 นับเป็นพระสงฆ์รูปแรกที่ได้รับการถวายเกียรตินี้

neg:
สมเด็จพระสังฆราช (ดี)
""ในปีชวดสัมฤทธิศกนั้น สมเด็จพระพุทธเจ้าอยู่หัวทรงพระ ราชดำริว่า พระพุทธศาสนาจักวัฒนาการรุ่งเรืองนั้น เพราะอาศัย จตุบริษัททั้งสี่ปฏิบัติตามพระบรมพุทโธวาท และพระสงฆ์ทุกวันนี้ยัง ปฏบัติในจตุปาริสุทธศีลบมิได้บริบูรณ์ เพราะเหตุหาพระราชาคณะ ซึ่งจะทรงปริยัติธรรมและสมถวิปัสสนาจะสั่งสอนบมิได้ จึงมีพระราช โองการสั่งพระศรีภูริปรีชาราชเสนาบดีศรีสาลักษณ์ ให้สืบเสาะหา พระสงฆ์เถรานุเถระผู้รู้อรรถธรรมยังมีอยู่ที่ใดบ้าง ให้ไปเที่ยว นิมนต์มาประชุมกันณวัดบางว้าใหญ่ ตั้งแต่งขึ้นเป็นพระราชาคณะผู้ ใหญ่ผู้น้อย โดยสมควรแก่คุณานุรูปตามตำแหน่งเหมือนเมื่อครั้ง กรุงเก่านั้น และพระศรีภูรีปรีชาก็สืบหาได้พระเถรานุเถระซึ่งเป็น พระราชาคณะบ้าง เป็นเปรียญบ้าง เป็นอาจารย์ผู้บอกบ้าง แต่ ครั้งกรุงเก่านั้นได้มาหลายรูปประชุมณวัดบางว้าใหญ่ แล้วปรึกษา พร้อมกันตั้งพระอาจารย์ดีวัดประดู่รู้คุณธรรมมาก ทั้งแก่พรรษา อายุ เป็นสมเด็จพระสังฆราช แล้วตั้งพระเถรานุเถระทั้งนั้นเป็น พระราชาคณะ ฐานานุกรมผู้ใหญ่ผู้น้อยตามลำดับสมณฐานันดร ศักดิ์เหมือนอย่างแต่ก่อน ให้อยู่ในพระอารามต่างๆ ในจังหวัดกรุง ธนบุรี บังคับบัญชาและสั่งสอนบอกกล่าว ฝ่ายคันถธุระและ วิปัสสนาธุระ แก่พระสงฆ์ สามเณรทั้งปวง""

neg:
นาลันทา
สถาบันนาลันทาที่เกิดขึ้นนี้เกิดจากความเลื่อมใสของหลวงพ่อ เจ กัสสปะ สังฆนายกรูปแรกของสงฆ์อินเดีย ท่านเป็นชาวเมืองรานชี (Ranchi) เมืองหลวงของรัฐจักกัน ท่านเกิดในตระกูลที่ร่ำรวย เมื่อเป็นหนุ่มได้ศึกษาพุทธประวัติ เกิดศรัทธาอย่างมาก จึงอุปสมบทเป็นพระภิกษุที่ประเทศศรีลังกา และได้ออกปาฐกแสดงเรื่องความยิ่งใหญ่ของมหาวิทยาลัยนาลันทาในอดีต แก่ผู้นำรัฐบาลในกรุงนิวเดลี และในที่สุดก็ประสบความสำเร็จ โดยเปิดสอนในปี พ.ศ. 2494 และท่านได้เป็นครูสอนและผู้บริหารของสถาบัน ครั้งแรกเปิดสอนทีวัดจีนนาลันทา ต่อมาได้ย้ายมาอยู่ตรงกันข้ามกับนาลันเก่า

neg:
วันเข้าพรรษา
ต่อมาเมื่อมีพระสงฆ์มากขึ้น และด้วยพระพุทธจริยาที่พระพุทธเจ้าจะไม่ทรงบัญญัติพระวินัยล่วงหน้า ทำให้พระพุทธเจ้าจึงไม่ได้ทรงบัญญัติเรื่องให้พระสงฆ์สาวกอยู่ประจำพรรษาไว้ด้วย จึงเกิดเหตุการณ์กลุ่มพระสงฆ์ฉัพพัคคีย์พากันออกเดินทางเผยแผ่พระพุทธศาสนาในที่ต่าง ๆ โดยไม่ย่อท้อทั้งในฤดูหนาว ฤดูร้อน และฤดูฝน ทำให้ชาวบ้านได้พากันติเตียนว่า พวกพระสงฆ์ในพระพุทธศาสนาไม่ยอมหยุดพักสัญจรแม้ในฤดูฝน ในขณะที่นักบวชในศาสนาอื่น พากันหยุดเดินทางในช่วงฤดูฝน การที่พระภิกษุสงฆ์จาริกไปในที่ต่างๆ แม้ในฤดูฝน อาจเหยียบย่ำข้าวกล้าของชาวบ้านได้รับความเสียหาย หรืออาจไปเหยียบย่ำโดนสัตว์เล็กสัตว์น้อยที่ออกหากินจนถึงแก่ความตาย เมื่อพระพุทธเจ้าทราบเรื่อง จึงได้วางระเบียบให้ภิกษุประจำอยู่ ณ ที่ใดที่หนึ่ง เป็นเวลา 3 เดือนดังกล่าว

neg:
สมมติสงฆ์
สมมติสงฆ์ หมายถึงพระสงฆ์โดยสมมติ คือเป็นพระสงฆ์โดยการยอมรับกันในหมู่สงฆ์ หลังจาการได้ผ่านการคัดเลือกเฟ้นคุณสมบัติถูกต้องและผ่านพิธีกรรมที่เรียกว่าอุปสมบทกรรมครบถ้วนตามพระวินัยแล้ว ใช้เรียกพระสงฆ์ที่ยังไม่ได้บรรลุมรรคผล เช่นพระสงฆ์ทั่วไปในปัจจุบัน ถ้าได้บรรลุมรรคผลแล้ว เช่นเป็นพระโสดาบันขึ้นไป แม้จะเป็นฆราวาส ก็เรียกว่า อริยสงฆ์

neg:
วัดคุ้งตะเภา
นับแต่องค์ปฐมเจ้าอาวาสวัดคุ้งตะเภา ตามความในพระราชพงศาวดารกรุงธนบุรี ฉบับพันจันทนุมาศ (เจิม) คือ พระพิมลธรรม (พระราชาคณะในสมัยกรุงธนบุรี) ที่ได้รับอาราธนาจากสมเด็จพระเจ้าตากสินมหาราชโดยทางราชการ ให้ขึ้นมาอยู่ประจำสั่งสอนพระธรรมวินัยในเมืองสวางคบุรี ในปี พ.ศ. 2313 พร้อมกับการสถาปนาวัดคุ้งตะเภาขึ้นในปีนั้น ในสมัยธนบุรีและรัตนโกสินทร์ตอนต้นนับตั้งแต่นั้น ก่อนที่จะมีกฎหมายระบุการแต่งตั้งผู้ทำหน้าที่พระอุปัชฌาย์โดยอนุมัติจากทางราชการไว้ในสมัยรัชกาลที่ 5-6 วัดคุ้งตะเภาคงมีพระอุปัชฌาย์ไปตามพระธรรมวินัย อย่างไรก็ดีการกำหนดให้มีการแต่งตั้งพระอุปัชฌาย์โดยฝ่ายบ้านเมืองพึ่งเริ่มมีในสมัยรัชกาลที่ 5 ที่ทรงมีประกาศเรื่องผู้จะบวชเป็นพระภิกษุให้มีประกันและการตั้งอุปัชฌาย์ จุลศักราช 1237 (พ.ศ. 2419) และพระราชบัญญัติลักษณะปกครองคณะสงฆ์ ร.ศ.121 (พ.ศ. 2445) ประกอบกับประกาศกระทรวงธรรมการ เรื่อง ตั้งอุปัชฌายะ พ.ศ. 2456 ในสมัยรัชกาลที่ 6 วัดคุ้งตะเภาก็ไม่เคยมีพระภิกษุรูปใดได้รับการแต่งตั้งเป็นพระอุปัชฌาย์โดยถูกต้องจากทางราชการอีกเลย ดังนั้นในส่วนนี้จึงเป็นการแสดงลำดับพระอุปัชฌาย์ที่ได้รับแต่งตั้งโดยมีหลักฐานทางประวัติศาสตร์และตามความในข้อ 9 แห่ง กฎมหาเถรสมาคม ฉบับที่ 17 ( พ.ศ. 2536 ) ว่าด้วยการแต่งตั้งถอดถอนพระอุปัชฌาย์ ซึ่งมีเพียงจำนวน 3 รูป ดังต่อไปนี้

neg:
วันเข้าพรรษา
พระศาสดาทรงอนุญาตพร 8 ประการคือโดยนางวิสาขาได้ให้เหตุผลการถวายผ้าอาบน้ำฝนว่า เพื่อให้ใช้ปกปิดความเปลือยกายในเวลาสรงน้ำฝนของพระสงฆ์ที่ดูไม่งามดังกล่าว ดังนั้น นางวิสาขาจึงเป็นอุบาสิกาคนแรกที่ได้รับอนุญาตให้ถวายผ้าอาบน้ำฝน (วัสสิกสาฏก) แก่พระสงฆ์

neg:
พระปุณณชิเถระ
พระปุณณชิเถระ เป็นพระสงฆ์กลุ่มแรก ๆ ในพระพุทธศาสนา โดยท่านเป็นพระสงฆ์ผู้เป็นสหายของพระยสเถระ เมื่อท่านบวชแล้วได้เป็นผู้มีส่วนสำคัญในการเผยแพร่พระพุทธศาสนาในช่วงต้นพุทธกาล

neg:
สังคายนาครั้งที่หนึ่งในศาสนาพุทธ
สาเหตุสืบเนื่องมาจากพระมหากัสสปะ เมื่อทราบข่าวว่าพระพุทธเจ้าปรินิพพานจึงรีบเดินทางมาจากเมืองปาวา แต่ระหว่างทางพระภิกษุสงฆ์ที่เป็นปุถุชนได้ร้องไห้คร่ำครวญขึ้นมาทำให้มีภิกษุผู้บวชเมื่อแก่นามว่าสุภัททะ ได้กล่าววาจาจาบจ้วงพระพุทธเจ้าพระมหากัสสปะจะลงโทษพระสุภัททะแต่ก็รอให้ผ่านพิธีถวายพระเพลิงเสียก่อน

neg:
พระโคตมพุทธเจ้า
ผลที่ได้รับคือ พระเจ้าพิมพิสาร และข้าราชบริพารส่วนใหญ่ได้ดวงตาเห็นธรรม จึงได้ทรงแสดงตนเป็นอุบาสก ขอถึงพระรัตนตรัยเป็นสรณที่พึ่งตลอดชีวิต พระเจ้าพิมพิสารยังได้ถวายสวนเวฬุวันให้พระพุทธองค์และพระสาวกทั้งหมด วัดเวฬุวันจึงเป็น วัดแห่งแรกของพระพุทธศาสนา ในยามดึกของค่ำวันนั้น บรรดาเปรตทั้งหลายที่เคยเป็นญาติของพระเจ้าพิมพิสารในอดีตชาติทราบว่าพระเจ้าพิมพิสารบำเพ็ญกุศลมีการถวายทานเป็นต้น ต่างก็รอรับส่วนบุญที่พระเจ้าพิมพิสารจะอุทิศส่งไปให้ เมื่อรอจนสิ้นวันนั้น ไม่เห็นพระเจ้าพิมพิสารอุทิศส่วนบุญให้ตามที่หวัง จึงพากันส่งเสียงร้องด้วยศัพท์สำเนียงอันน่าสะพรึงกลัว พระเจ้าพิมพิสารได้สดับเสียงนั้น เกิดความกลัวมาก จึงรีบเสด็จไปเฝ้าพระพุทธองค์ พระพุทธองค์ตรัสให้ทราบความเป็นมา บอกให้พระเจ้าพิมพิสารอุทิศส่วนกุศล ท้าวเธอก็ได้อุทิศส่วนกุศลไปให้ ทันใดนั้นอาหารทิพย์ก็ปรากฏมีแก่เปรตเหล่านั้นต่างพากันบริโภคจนอิ่มหนำสำราญ ร่างกายที่เคยผอมโซทุเรศน่าเกลียดน่ากลัวก็กลับดูสะอาดสมบูรณ์ขึ้น

neg:
พระสุเมธพุทธเจ้า
หลังจากศาสนาของพระปทุมุตระพุทธเจ้าล่วงไปได้ 30,000 กัป ล่วงถึงมัณฑกัปหนึ่ง มีพระพุทธเจ้ามาอุบัติ 2 องค์ พระพุทธเจ้าองค์แรกทรงพระนามว่า พระสุเมธพุทธเจ้า

neg:
พระสุเมธพุทธเจ้า
พระสุเมธสัมมาสัมพุทธเจ้า
ในคราวนั้นนิยติโพธิสัตว์ ได้เกิดเป็นมานพหนุ่ม นามว่า อุตตรมานพ มีสมบัติมากมายมหาศาลและบริวารจำนาณมากมาย วันหนึ่งได้มีโอกาสพบพระพุทธองค์ ได้สดับพระธรรมเทศนา บังเกิดเลื่อมใสศรัทธา จึงบำเพ็ญทานอันยิ่งใหญ่แก่พระภิกษุสงฆ์อันมีพระพุทธเจ้าเป็นประธาน และภายหลัง จึงสละเพศฆราวาสวิสัย ออกบวชเป็นพระภิกษุในพุทธศาสนา
ครานั้น พระสุเมธสัมมาสัมพุทธเจ้า ตรัสพุทธพยากรณ์ว่า
"อุตตรภิกษุนี้ นานไปเบื้องหน้าในอนาคต จักได้ตรัสเป็นพระพุทธเจ้าองค์หนึ่ง ทรงนามว่า พระศรีศากยมุนีโคดมพุทธเจ้า"
หลังจากนั้นอุตตรภิกษุ ก็ได้เพียรสร้างบารมีต่อไป แล้วเวียนเกิดเวียนตายอยู่หลายชาติ นับได้หนึ่งพุทธันดร

neg:
ภิกษุ
เป็นชื่อเรียกวิธีอุปสมบทเป็นภิกษุในสมัยพุทธกาลยุคต้นๆ โดยพระพุทธเจ้าประทานให้ด้วยพระองค์เอง ด้วยการตรัสว่า "เอหิภิกขุ..." ซึ่งแปลว่า ""จงมาเป็นภิกษุเถิด ธรรมอันเรากล่าวดีแล้ว ท่านจงประพฤติพรหมจรรย์เพื่อทำที่ดีที่สุดแห่งทุกข์โดยชอบเถิด""

neg:
มรณสักขีในศาสนาคริสต์
คริสต์ศาสนิกชนคนแรกที่เป็นมรณสักขีคือนักบุญสเทเฟนที่บันทึกไว้ใน ถูกขว้างด้วยก้อนหินจนถึงแก่ชีวิตเพราะศรัทธาในพระเยซูว่าเป็นพระเมสสิยาห์ และยังคงมีคริสต์ศาสนิกชนอีกหลายคนที่ถูกฆ่านอกจากนักบุญสเทเฟน ตามที่นักบุญเปาโลอัครทูตกล่าวว่ามีการขู่จะฆ่าสาวกของพระเยซูในเวลานั้นหลายครั้ง ()

neg:
ปฐมเทศนา
ปฐมเทศนา (อ่านได้หลายอย่าง คือ "ปะ-ถม-มะ-เท-สะ-นา", "ปะ-ถม-มะ-เทด-สะ-หนา", "ปะ-ถม-เทด-สะ-หนา") แปลว่า การแสดงธรรมครั้งแรก เป็นคำเรียกเทศน์กัณฑ์แรกของพระพุทธเจ้าที่ทรงแสดงแก่พระปัญจวัคคีย์ทั้ง 5 คือ โกณฑัญญะ วัปปะ ภัททิยะ มหานามะ และ อัสสชิ ที่ป่าอิสิปตนมฤคทายวัน แขวงเมืองพาราณสี เมื่อวันเพ็ญกลางเดือน 8 (วันอาสาฬหบูชา)

neg:
พระทีปังกรพุทธเจ้า
พระทีปังกรพุทธเจ้า เป็นพระพุทธเจ้าที่ตรัสรู้ในโลกเมื่อ 4 อสงไขยแสนกัปที่แล้ว ถือเป็นพระพุทธเจ้าพระองค์แรกในพุทธวงศ์ของพระโคตมพุทธเจ้า เรื่องราวของพระองค์ปรากฏทั้งในหลักฐานฝ่ายเถรวาทและมหายาน นามของพระองค์หมายถึงผู้ยังแสงสว่างให้เกิดขึ้น ชื่ออื่น ๆ ของพระองค์ได้แก่ พระสมันตประภาพุทธเจ้า พระประทีปประภาพุทธเจ้า พระสมาธิประภาพุทธเจ้า หรือพระปัจฉิมพุทธะทีปังกร

neg:
มหาวิทยาลัยมหามกุฏราชวิทยาลัย
สิ่งที่ชาวมหามกุฏราชวิทยาลัยภาคภูมิใจที่สุดก็คือการเป็นมหาวิทยาลัยพระพุทธศาสนาหรือมหาวิทยาลัยสงฆ์แห่งแรกของประเทศ หลังจากที่มีการเปิดการเรียนการสอนระดับมหาวิทยาลัย นักศึกษาและครูอาจารย์มหาวิทยาลัยสงฆ์แห่งนี้มีเป้าประสงค์ยิ่งใหญ่ตามเจตนารมณ์ของ
อาจารย์สุชีพ ปุญญานุภาพ คือพยายามขยายการอบรมจริยธรรมหรือศีลธรรมทางพระพุทธศาสนาไปทั่วประเทศในรูปแบบต่างๆ กล่าวได้ว่าในช่วงหัวเลี้ยวหัวต่อที่ประเทศได้รับอิทธิพลวัตถุนิยมจากตะวันตก นักศึกษาและครูอาจารย์มหามกุฏราชวิทยาลัยได้มีบทบาทสำคัญในการชี้นำให้เห็นความสำคัญของพระพุทธศาสนาในฐานะเป็นศาสนาประจำชาติที่เป็นรากฐานของสังคมไทยมาช้านาน พระสงฆ์สามเณรที่เป็นพระนักศึกษาหลายรูปได้เข้าไปเกี่ยวข้องกับกิจกรรมเผยแผ่พระพุทธศาสนาเหล่านี้จนกระทั่งสำเร็จการศึกษา

neg:
พระควัมปติเถระ
พระควัมปติเถระ เป็นบุตรแห่งเศรษฐีชาวเมืองพาราณสี ท่านเป็นสหายของยสกุลบุตร ซึ่งต่อมาบวชเป็นพระสงฆ์ในพระพุทธศาสนา ท่านทราบข่าวว่ายสกุลบุตรออกบวชจึงคิดว่าพระธรรมวินัยของเพื่อนเราคงไม่เลวทราม จึงไปชักชวนสหายพาไปหาพระยสะเพื่อออกบวช พระยสะจึงพาไปเข้าเฝ้าพระพุทธเจ้า ทรงสั่งสอนจนบรรลุเป็นพระอรหันต์ และไดส่งท่านเป็นพระสาวกรุ่นแรก ๆ ไปช่วยเผยแพร่พระพุทธศาสนา ท่านนับเป็นผู้มีส่วนสำคัญในการเผยแพร่พระพุทธศาสนาในช่วงต้นพุทธกาล

neg:
พระอานนท์
พระผู้มีพระภาคเจ้าตรัสกับพระภิกษุทั้งหลายว่า ไม่มีผู้ใดจะสามารถให้ท่านพระอานนท์เกิดความอุตสาหะขึ้นมาได้เลย แต่เมื่อท่านพระอานนท์รู้แล้ว ท่านจักอุปัฏฐากพระองค์เอง เมื่อพระภิกษุทั้งหลายได้ยินพระดำรัสนั้น ก็ทราบทันทีว่า พระองค์ทรงประสงค์ให้ท่านพระอานนท์เป็นพุทธอุปัฏฐาก จึงได้พูดตักเตือนให้ท่านทูลขอตำแหน่งพุทธุปัฏฐากจากพระองค์

neg:
พระนาลกะ
หลังจากฤๅษีนาลกะได้บรรลุสมาบัติ 8 และต่อมาเมื่อพระพุทธเจ้าอุบัติขึ้นในโลก ฤๅษีนาลกะผู้ซึ่งรอมานานได้ยินข่าวว่าเจ้าชายสิทธัตถะเป็นศาสดาเอกแล้ว จึงรีบเหาะมาเข้าเฝ้า และขอโมเนยยปฏิบัติตามคำของลุง ในวันที่ 7 นับจากวันที่ทรงแสดงปฐมเทศนาธัมมจักกัปปวัตตนสูตร พระผู้มีพระภาคเจ้าได้ทรงแสดงพระธรรมเทศนาเรื่องปฏิปทาของมุนีและทรงประทานโมเนยยปฏิบัติเป็นพระคาถา 4 บาท ว่า "อย่าเที่ยวภิกขาจารในที่เดิมซ้ำ อย่านอนในที่เดิมซ้ำ เพื่อไม่ตัดสินว่าใครดีชั่ว เพื่อไม่พิจารณาว่าที่นี้หยาบปราณีต" เมื่อพระนาลกะได้รู้โมเนยยปฏิบัติแล้ว จึงขอประทานการอุปสมบท พระนาลกะครั้นตั้งจิตยึดถือตามหลักมักน้อย 4 ประการนี้แล้ว ก็ทูลลาพระพุทธเจ้าไปอยู่ที่เชิงเขาตามลำพัง ท่านปฏิบัติตามข้อปฏิบัติของมุนีอย่างเคร่งครัด คือไม่อยู่ในป่าแห่งเดียวถึง 2 วัน ไม่นั่งที่โคนต้นไม้ต้นเดียวกันถึง 2 วัน ไม่บิณฑบาตที่บ้านเดียวถึง 2 วัน ดังนั้นท่านจึงออกจากป่าโน้นไปยังป่านี้ ออกจากต้นไม้นี้ไปยังต้นไม้โน้น และได้ประพฤติโมเนยยปฏิบัติ อย่างอุกฤษฏ์ 5 ประการ เป็นเวลา 7 เดือน คือ 1.ไม่ยึดติดสนิทสนมต่อบุคคล 2.ไม่ยึดติดถิ่นสถานที่อยู่ 3.เป็นผู้สันโดษในการเห็น 4.เป็นผู้สันโดษในการฟัง 5.เป็นผู้สันโดษในการถาม จึงได้บรรลุพระอรหัต

neg:
อาทิพุทธะ
พระอาทิพุทธะเป็นพระพุทธเจ้าที่พบในคติความเชื่อของพุทธศาสนามหายานบางกลุ่ม ไม่พบในฝ่ายเถรวาท โดยเชื่อว่าอาทิพุทธะเป็นพระพุทธเจ้าพระองค์แรก กำเนิดขึ้นพร้อมกับโลก อยู่ในโลกชั่วนิรันดร์ เป็นพระผู้สร้างสรรพสิ่งในโลก และเป็นแหล่งกำเนิดของพระพุทธเจ้าทั้งหลาย ประทับบนพรหมโลกชั้นอกนิฏฐ์ มีสถานะเสมอปรมาตมันในศาสนาฮินดู

neg:
พระโคตมพุทธเจ้า
ในที่สุด ท่านโกณฑัญญะ ก็ได้ดวงตาเห็นธรรม บรรลุโสดาบัน พระพุทธองค์จึงทรงเปล่งวาจาว่า ท่านโกณฑัญญะ จึงได้สมญาว่า พระอัญญาโกณฑัญญเถระ และได้รับการบวชเป็นพระสงฆ์องค์แรกในพระพุทธศาสนา เป็นเหตุให้พระรัตนตรัย คือ พระพุทธ พระธรรม และพระสงฆ์ ครบองค์ 3 เป็นครั้งแรกในสมัยพระพุทธเจ้าองค์ปัจจุบัน


query: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบันใช่หรือไม่?

pos:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง และนำไปสู่จำนวน "e" ที่ไม่ทราบค่าดังนี้
ต่อมา ค.ศ. 1697 โยฮันน์ แบร์นูลลี (Johann Bernoulli) ก็ได้ศึกษาแคลคูลัสของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังกล่าว

neg:
การแจกแจงเอกรูป (ต่อเนื่อง)
ตัวแปรเชิงสุ่ม formula_1 มีค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่งหรืออยู่ในเซตของช่วงใดช่วงหนึ่งด้วยความน่าจะเป็นเท่ากันเสมอ ซึ่งอยู่ในช่วงของเลขจำนวนจริง 2 จำนวนคือ formula_2 และ formula_3 โดยที่ apdf ของ formula_1 คงที่จาก formula_2 ถึง formula_3 แล้ว formula_1 จะมีฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นดังนี้
และมีค่าคาดหวังและค่าความแปรปรวนดังนี้

neg:
เศรษฐมิติ
ตัวอย่าง กฎของโอคุน (Okun's law) ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างการเติบโตของ GDP และอัตราการว่างงาน ความสัมพันธ์นี้ถูกแทนที่ได้ด้วยการถดถอยเชิงเส้นซึ่งการเปลี่ยนแปลงของอัตราการว่างงาน (formula_1) เป็นฟังก์ชันของจุดตัดแกนตั้ง (formula_2) ค่าของอัตราการเติบโตของ GDP (Growth) คูณด้วยค่าสหสัมพันธ์ความชัน formula_3 และค่าความคลาดเคลื่อน formula_4 ดังนี้

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
นอกเหนือจากนี้ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ "f"("x") ชนิดใด ๆ เราสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎลูกโซ่ดังนี้

neg:
ลำดับการดำเนินการ
เมื่อพบวงเล็บหรือเลขยกกำลังในนิพจน์ ให้ดำเนินการคำนวณนิพจน์ย่อยที่อยู่ในวงเล็บหรือคำนวณเลขยกกำลังก่อน

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่ง เนื่องจากมันเป็นสาทิสสัณฐาน (holomorphic) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวนยกเว้นค่า 0 สิ่งนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทเล็กของปิการ์ (Picard's little theorem) ซึ่งกล่าวว่า ฟังก์ชันทั่วที่ไม่เป็นค่าคงตัวใด ๆ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวน โดยอาจยกเว้นค่าใดค่าหนึ่ง

neg:
ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
ซึ่ง formula_56 เป็นฟังก์เตอร์นั้นๆ ในแต่ละซับเซต formula_57 แจกแจงให้ซับเซต formula_58 ซึ่งถูกแจกแจงโดย

neg:
ฟังก์ชันบ่งชี้
ฟังก์ชันบ่งชี้ () หรือบางครั้งเรียกว่า "ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ" คือฟังก์ชันที่นิยามบนเซต "X" ซึ่งบ่งชี้ว่าสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นสมาชิกของเซตย่อย "A" ใน "X" หรือไม่ โดยให้ค่าเป็น 1 ถ้าสมาชิกตัวนั้นอยู่ในเซต "A" หรือให้ค่าเป็น 0 ถ้าสมาชิกตัวนั้นไม่อยู่ในเซต "A" แต่ยังคงอยู่ในเซต "X"

neg:
สัญกรณ์โอใหญ่
สัญกรณ์โอใหญ่ยังใช้เพื่อแสดงพจน์ของค่าคลาดเคลื่อนโดยประมาณในฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น

neg:
การยกกำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งนิยามโดยลิมิตต่อไปนี้
มี "x" เป็นเลขชี้กำลังเพิ่มเข้ามา และสอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลัง

neg:
การยกกำลัง
กำหนดให้ κ และ λ เป็นจำนวนเชิงการนับ นิพจน์ κ หมายถึงภาวะเชิงการนับของ เซตของฟังก์ชันจากเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ λ ไปยังเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ κ ถ้า κ และ λ เป็นจำนวนจำกัด นิพจน์นี้จะคล้อยตามการดำเนินการยกกำลังเชิงเลขคณิตธรรมดา ตัวอย่างเช่น เซตของสามสิ่งอันดับ ของสมาชิกจากเซตของสองสิ่งอันดับ จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากับ 8 = 2

neg:
ฟังก์ชันกำเนิด
เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและพิกัดของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ในบางกรณีคำว่า "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" ก็มีใช้ในความหมายทั่วไปยิ่งขึ้น สำหรับฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ "cb" เมื่อ "b" คือฐานที่เป็นจำนวนจริงบวก ไม่จำเป็นต้องเป็น "e" ดูเพิ่มที่การเติบโตแบบเลขชี้กำลังสำหรับความหมายนี้

neg:
ตัวบ่งปริมาณ (บางตัว)
ในทฤษฎีประเภท และทฤษฎีทอพอโลยีพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นจุดเชื่อม (Adjoint) ด้านซ้ายของฟังก์เตอร์ (Functor) ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ภาพผกผันฟังก์เตอร์ของฟังก์ชันระหว่างสองเซต ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดเป็นจุดเชื่อมด้านขวา

neg:
การยกกำลัง
ลอการิทึมธรรมชาติ ln ("x") เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" ซึ่งนิยามไว้สำหรับ "b" > 0 และสอดคล้องกับเงื่อนไข
ถ้า "b" ถูกนิยามขึ้นโดยยังคงรักษากฎต่าง ๆ ของลอการิทึมและการยกกำลัง จะได้ว่า
สำหรับจำนวนจริง "x" แต่ละจำนวน

neg:
ผลรวม
ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการประมาณค่าอัตราการเติบโต โดยใช้สัญกรณ์ทีตา

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังขยายแนวคิดเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่งบนระนาบเชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับค่าของฟังก์ชันเมื่อส่งค่าอาร์กิวเมนต์ส่วนจินตภาพไปยังฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็มีสิ่งที่คล้ายกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นเมทริกซ์ หรือแม้แต่สมาชิกของพีชคณิตแบบบานัค (Banach algebra) หรือพีชคณิตแบบลี (Lie algebra)

neg:
แฟกทอเรียล
เมื่อ "n" มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า "n"! จะมีอัตราการเติบโตมากกว่าพหุนามและฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่มี "n" ประกอบอยู่ (แต่ก็ยังน้อยกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น)

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
สำหรับกรณีพิเศษเมื่อ "x" = "y" = 1 จะได้

neg:
ฟังก์ชันบ่งชี้
ถ้า "A" และ "B" ต่างก็เป็นเซตย่อยของ "X" จะได้ว่า (จุด · หมายถึงการคูณ)

neg:
การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม
ถ้าจำนวน b บิตเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ 2 ตัวที่มีขนาดใกล้เคียงกันแล้ว จะไม่มีขั้นตอนวิธีใดๆ ที่สามารถแยกตัวประกอบมันได้ภายในเวลาแบบพหุนาม (polynomial time) กล่าวคือ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ภายใน O (b) เมื่อ k คือค่าคงที่ค่าหนึ่ง ปัจจุบันมีขั้นตอนวิธีหลายขั้นตอนที่เร็วกว่า O ((1+ε) ) เมื่อ ε คือจำนวนบวก กล่าวคือ มีประสิทธิภาพเชิงเวลาแบบใต้เลขชี้กำลัง (sub-exponential)

neg:
ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
จะเป็นเท็จ หาก formula_61 ไม่ใช่ formula_48

neg:
ตัวบ่งปริมาณ (หนึ่งตัว)
ลดลงมาอีกจะได้

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ถ้ามีเงินต้นจำนวน 1 และได้รับดอกเบี้ยในอัตรารายปี "x" โดยทบต้นรายเดือน ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยที่ได้รับต่อเดือนจึงเป็น "x"/12 เท่าของมูลค่าปัจจุบัน แต่ละเดือนจึงมียอดรวมของเดือนก่อนหน้าคูณด้วย (1+"x"/12) ในที่สุดมูลค่าที่ได้เมื่อสิ้นปีจึงเท่ากับ (1+"x"/12) ถ้าคิดดอกเบี้ยทบต้นรายวันแทน มูลค่าจะกลายเป็น (1+"x"/365) และถ้ากำหนดให้จำนวนช่วงเวลาต่อปีเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด จะนำไปสู่นิยามของลิมิตของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังนี้
นิยามนี้กำหนดไว้โดยออยเลอร์ สิ่งนี้เป็นการอธิบายลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลังวิธีหนึ่ง ส่วนวิธีการอื่นจะเกี่ยวข้องกับอนุกรมและสมการเชิงอนุพันธ์

neg:
การยกกำลัง
เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 3 = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น "กำลัง" ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
เศษส่วนต่อเนื่องนัยทั่วไปของ "e" ต่อไปนี้ มีค่าลู่เข้าอย่างรวดเร็ว

neg:
การวิเคราะห์อภิมาน
การแจกแจงของขนาดผล (distribution of effect sizes) สามารถเห็นได้ด้วยการวาด funnel plot ซึ่งเป็นแผนภาพกระจายของขนาดตัวอย่าง (sample size) และขนาดผล (effect size)
คือจริง ๆ แล้ว ในขนาดผลบางอย่าง ตัวอย่างยิ่งมีน้อยเท่าใด ความน่าจะเป็นก็จะสูงขึ้นเท่านั้นในการพบขนาดผลนั้น
ในขณะเดียวกัน ขนาดผลยิ่งสูงขึ้นเท่าไร ความน่าจะเป็นที่งานที่มีตัวอย่างมากจะแสดงผลที่ระดับนั้นโดยสุ่มก็เป็นไปได้น้อยลงเท่านั้น
ถ้ามีงานที่แสดงผลเปล่าที่ไม่ได้พิมพ์เป็นจำนวนมาก งานที่แสดงผลบวกที่เหลือจะทำให้เกิด funnel plot ที่ขนาดผลจะมีลักษณะเป็นสัดส่วนผกผันกับขนาดตัวอย่าง
กล่าวโดยอีกนัยก็คือ ขนาดผลยิ่งสูงขึ้นเท่าไร ขนาดตัวอย่างก็น้อยลงเท่านั้น
ดังนั้นส่วนหนึ่งของผลที่แสดงนัยสำคัญนั้น จะเป็นค่าที่เกิดขึ้นโดยสุ่มและไม่มีความสมดุลใน plot เพราะงานวิจัยแสดงผลลบไม่ได้รับการพิมพ์
โดยเปรียบเทียบกัน ถ้างานวิจัยโดยมาก (ทั้งผลบวกผลลบผลเปล่า) ได้รับการพิมพ์ ขนาดผลที่แสดงจะไม่มีอิทธิพลจากขนาดตัวอย่าง และ funnel plot จะออกมาสมดุล
ดังนั้น ถ้าไม่มีความเอนเอียงในการตีพิมพ์ ก็จะไม่มีความสัมพันธ์กันระหว่างขนาดตัวอย่างและขนาดผล
ดังนั้น ความสัมพันธ์เชิงลบระหว่างขนาดตัวอย่างและขนาดผลจึงบอกเป็นนัยว่า งานศึกษาที่พบนัยสำคัญในผล มีการตีพิมพ์มากกว่า
มีวิธีการหลายอย่างที่สามารถใช้แก้ปัญหาความเอนเอียงในการตีพิมพ์
เช่นการตัดข้อมูลออกแต่จะต้องเดาว่า ควรจะตัดออกที่จุดไหน

neg:
การยกกำลัง
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการหารซ้ำ ๆ จาก 1 ด้วยฐานก็ได้ ตัวอย่างเช่น

neg:
จำนวนจริง
ตัวอย่างเช่น อนุกรมพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

neg:
ฟังก์ชันกำเนิด
ในทางฟิสิกส์ ฟังก์ชันกำเนิด (Generating function approach) คือการใช้อนุพันธ์ย่อยสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายถึงพลศาสตร์ของระบบ ตัวอย่างทั่วไป เช่น ฟังก์ชันแบ่งส่วน (Partition function) ของกลศาสตร์สถิติ หรือฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันที่ทำหน้าที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง 2 เซตของตัวแปรคาโนนิคัล (Canonical variable) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ (Canonical transformation)
สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการแปลงฟังก์ชันระหว่าง และ ซึ่งทั้งสองเซตจะต้องเป็นไปตามหลักการฮามิลตัน (Hamilton's principle) โดยสามารถเขียนสมการลากรานจ์ได้ คือ formula_1 และ formula_2 ตามลำดับ โดยที่การแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) จะต้องมีค่าคงตัว นั่นคือ :

neg:
การยกกำลัง
การพิสูจน์อย่างสั้นว่า "e" ยกกำลังจำนวนเต็มบวก "k" เหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" แสดงได้ดังนี้
แสดงให้เห็นว่า "e" สอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลังเมื่อ "x" และ "y" เป็นจำนวนเต็มบวก ผลจากการพิสูจน์ยังคงสอดคล้องสำหรับจำนวนทุกจำนวนด้วย ไม่เพียงแค่จำนวนเต็มบวก

neg:
ลิมิตของฟังก์ชัน
ให้ "f"("x") เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ "x" เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
โดยข้อเท็จจริงแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์หลายชนิดทำให้เกิดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง รวมทั้งสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger equation) สมการลาปลัส (Laplace's equation) และสมการที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเดียว (simple harmonic motion)

neg:
การยกกำลัง
หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0 ได้แสดงตัวอย่างลิมิตของรูปแบบยังไม่กำหนด 0 ไว้จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเหล่านี้มีลิมิตต่าง ๆ แต่มีค่าแตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร "x" ไม่มีลิมิตที่จุด (0, 0) จึงอาจเกิดคำถามว่าฟังก์ชันนี้มีลิมิตที่จุดไหนบ้าง

neg:
ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
เว้นเสียแต่ว่าจะกำหนดให้ใช้เฉพาะ A กลับด้านเท่านั้น

neg:
การยกกำลัง
เลขยกกำลัง "a" อาจนิยามให้ "n" เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า "a" ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่สามารถกระจายจำนวนจริง "a" กับ "n" ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน "a" เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน "a" สามารถนิยามเลขชี้กำลัง "n" ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้

neg:
การก้าวหน้าเลขคณิต
ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเลขคณิต () หรือ ลำดับเลขคณิต () คือลำดับของจำนวนซึ่งมีผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัว ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นการก้าวหน้าเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2

neg:
การยกกำลัง
กำลังของจำนวนจริงบวก "a" ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ "m"/"n" ในพจน์น้อยที่สุด สอดคล้องกับ
เมื่อ "m" เป็นจำนวนเต็มและ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก

neg:
จำนวนจุดลอยตัว
การตระหนักถึงการสูญเสียเลขนัยสำคัญที่สามารถเกิดขึ้นก็มีประโยชน์ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราบวกจำนวนขนาดใหญ่มากกับจำนวนขนาดเล็กมากเมื่อเปรียบเทียบกับผลบวก จะทำให้เกิดการสูญเสียเลขนัยสำคัญ การบวกโดยทั่วไปจะเป็นเหมือนเช่นนี้

neg:
ปัญหาวันเกิด
การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (ค่าคงตัว e ≈ 2.718281828)
สามารถประมาณค่า "e" อันดับที่หนึ่งเมื่อ "x" ≪ 1 ดังนี้

neg:
ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
เมื่อ formula_60 อยู่ในอิมเมจของ formula_61 ซึ่งอยู่ภายใต้ formula_62 ในทำนองเดียงกัน หากเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด formula_63 เป็นฟังก์เตอร์นั้นๆ ในแต่ละซับเซต formula_57 แจกแจงให้ซับเซต formula_65 ซึ่งถูกแจกแจงโดย

neg:
ซิปเปอร์
การเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันเป็นการเขียนโปรแกรมที่ทำงานคล้ายกับฟังก์ชันของคณิตศาสตร์ โดยมีแนวคิดสำคัญว่าให้หลีกเลี่ยงการเกี่ยวข้องกับสถานะของโปรแกรม (state) และหลีกเลี่ยงการเปลี่ยนแปลงข้อมูลต่าง ๆ โดยคำสั่งหนึ่งที่ได้รับพารามิเตอร์เหมือนกันต้องให้คำตอบเดียวกัน อย่างเช่น ในคณิตศาสตร์ ถ้าให้ f(x) = x + 4 และ x = 4 จะได้ f(4) = 8 เสมอ แสดงว่าถ้าสร้างคำสั่ง foo(Object e) ขึ้นมา จะได้ว่าคำสั่ง foo มีการทำงานเหมือนเดิมตราบที่พารามิเตอร์คือ e ยังเป็นค่าเดิม ดังนั้นจะพบว่าการเขียนโปรแกรมแบบนี้จะมีตัวแปรอยู่ในโปรแกรมน้อยเพื่อเป็นการหลีกเลี่ยงการเปลี่ยนแปลงค่าในข้อมูลและสามารถมีฟังก์ชันประกอบ (Composite function) อยู่ในส่วนการทำงานของโปรแกรมได้มากมายความเร็วในการทำงานส่วนใหญ่จะเป็น O(1) ซึ่งเป็นเพราะการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันซึ่งเปรียบเสมือนการใส่ข้อมูลตัวนั้นและที่อยู่ของมันที่อาจเป็นในลักษณะของฟังก์ชันประกอบ (Composite function) เพื่อให้โปรแกรมทำงานตามบริการที่เราต้องการ แต่ทั้งนี้ก็ขึ้นอยู่กับการออกแบบโครงสร้างข้อมูลของโปรแกรมเมอร์แต่ละคนด้วยว่าจะวางโครงสร้างไว้อย่างไร บางคำสั่งจึงไม่จำเป็นต้องมีการทำงานเป็น O(1) เสมอไป

neg:
ฟังก์ชันแกมมา
ฟังก์ชันแกมมา (, "G ตัวใหญ่") เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เป็นส่วนขยายของฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนเชิงซ้อน หรือสามารถกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นการเติมเต็มฟังก์ชันแฟกทอเรียลของค่า "n" ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน "z" ซึ่งส่วนจริงเป็นค่าบวก ได้นิยามไว้ว่า
นิยามดังกล่าวทำให้ผลลัพธ์สามารถขยายไปได้ถึงระนาบจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อส่วนจริงเป็นจำนวนเต็มลบ สำหรับกรณีถ้า "z" มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวก จะได้
ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีความเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแฟกทอเรียล

neg:
−1
การยกกำลังด้วยจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์สามารถขยายไปสู่จำนวนเต็มลบได้ เรากำหนดนิยามไว้ว่า "x" = 1/"x" หมายความว่า เรานิยามให้การยกกำลังจำนวนใดจำนวนหนึ่งด้วย −1 จะได้ผลอย่างเดียวกับการหาส่วนกลับของมัน นิยามนี้ก็ได้ขยายไปสู่จำนวนเต็มลบ ทำให้กฎ "x""x" = "x" ยังคงอยู่เมื่อ "a", "b" เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

neg:
อนุพันธ์
ซึ่ง เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น ใด ๆ

neg:
ฟังก์ชันจำนวนเต็มใกล้สุด
ฟังก์ชันจำนวนเต็มใกล้สุด () คือฟังก์ชันที่ให้ค่าจำนวนเต็มสำหรับจำนวนจริง "x" ใด ๆ เขียนสัญกรณ์แทนได้หลายอย่างเช่น ["x"] , ||"x"|| , ⌊"x"⌉, nint ("x"), หรือ round ("x") เป็นต้น และเพื่อไม่ให้เกิดความกำกวมเมื่อดำเนินการบนจำนวนเต็มครึ่ง (จำนวนเต็มที่บวก 0.5) ฟังก์ชันนี้จึงนิยามให้มีค่าไปยังจำนวนคู่ที่ใกล้เคียงที่สุด ตัวอย่างในกรณีนี้เช่น

neg:
อนุพันธ์
ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริงเป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เทียบกับเวลา คือ ความเร็วของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป

neg:
ฟังก์ชันบ่งชี้
สัญกรณ์ที่ใช้อาจพบเป็นอย่างอื่นเช่น

neg:
ฟังก์ชันแกมมา
สัญกรณ์ Γ ("z") กำหนดขึ้นโดยอาเดรียง-มารี เลอช็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) ซึ่งใช้อักษรกรีก แกมมา ตัวใหญ่ (Γ) แทนชื่อฟังก์ชัน โดยนิยามไว้ว่า ถ้าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน "z" เป็นค่าบวก (ℜ{"z"} > 0) ดังนั้นปริพันธ์นี้
จะลู่เข้าสัมบูรณ์ โดยการหาปริพันธ์เป็นส่วนจะสามารถแสดงได้ว่า
สมการเชิงฟังก์ชันนี้เป็นข้อสรุปทั่วไปสำหรับความสัมพันธ์ "n"! = "n" ("n" − 1) ! ของฟังก์ชันแฟกทอเรียล เราสามารถวิเคราะห์การประเมินค่าของ Γ (1) ได้ว่า
โดยการรวมความสัมพันธ์ข้างต้นสองประการ แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลเป็นกรณีพิเศษอันหนึ่งของฟังก์ชันแกมมา ดังนี้
สำหรับทุกค่า "n" ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น Γ (5) = 4! เป็นต้น
ความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถจัดเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนค่า "x" โดยมี "โพล" อยู่บน "x" = −"n" (เมื่อ "n" = 0, 1, 2, 3, ...) และมี "ส่วนตกค้าง" อยู่ที่ formula_7 ดังนั้นเราจะสามารถขยาย Γ ("z") ไปเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิกโดยนิยามให้มีค่าสำหรับทุกๆ ค่า "z" ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อ "z" = 0, −1, −2, −3, ... ตามการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ซึ่งส่วนขยายดังกล่าวมักเป็นการอ้างถึงฟังก์ชันแกมมาโดยปกติ

neg:
การยกกำลัง
ในการกำหนดที่ไม่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง การตีความว่า 0 คือ 1 ช่วยให้สูตรต่าง ๆ ง่ายขึ้นและไม่จำเป็นต้องนำเอาทฤษฎีบทอื่นมาอธิบายเป็นกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่น

neg:
จำนวนจุดลอยตัว
"ซิกนิฟิแคนด์" คูณด้วย "ฐาน" ที่ยกกำลังด้วย "เลขชี้กำลัง" จะเทียบเท่ากับการเลื่อนจุดฐานจากตำแหน่งสมมติ ไปเป็นจำนวนหลักเท่ากับค่าของเลขชี้กำลัง โดยเลื่อนไปทางขวาถ้าเลขชี้กำลังเป็นบวกหรือไปทางซ้ายถ้าเลขชี้กำลังเป็นลบ

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะเป็นคาบ (periodic) ซึ่งมีคาบบนจำนวนจินตภาพเป็น 2π"i" และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสูตร
เมื่อ "a" และ "b" เป็นค่าจริง (ดูเพิ่มที่สูตรของออยเลอร์) สูตรนี้เป็นตัวเชื่อมโยงฟังก์ชันเลขชี้กำลังเข้ากับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันไฮเพอร์บอลิก ดังนั้นฟังก์ชันมูลฐาน (elementary function) ทั้งหมดยกเว้นพหุนาม เป็นผลมาจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

neg:
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
สังเกตว่าเมื่อความสัมพันธ์ระหว่างสองเซต "X" และ "Y" มักจะแสดงด้วยเซตย่อยของ "X"×"Y" นิยามอย่างเป็นทางการของฟังก์ชันนั้นระบุฟังก์ชัน "f" ด้วยกราฟของมันชนิดของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มักใช้กันเช่น การบวก การลบ การคูณ การหาร พหุนาม เลขยกกำลัง ลอการิทึม ราก อัตราส่วน และตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันพื้นฐาน แต่คำนี้จะมีความหมายต่างออกไปตามสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ไม่เป็นพื้นฐาน (ฟังก์ชันพิเศษ) เช่น ฟังก์ชันเบสเซิล และฟังก์ชันแกมมา

neg:
ปริพันธ์
ปริพันธ์ของฟังก์ชันจำนวนจริงบวกที่ต่อเนื่อง และมีตัวแปร "x" อยู่ระหว่างจุด "a" กับจุด "b" ก็คือ พื้นที่ที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้น "x"="a", "x"="b", แกน "x" และเส้นโค้ง "f"("x") ดังรูป.
หรือจะกล่าวให้เป็นทางการขึ้นว่า ถ้าเราให้
แล้วปริพันธ์ของฟังก์ชัน "f" ระหว่าง "a" กับ "b" ก็คือการวัดขนาดของ "S" นั่นเอง

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถนิยามบนระนาบเชิงซ้อนได้หลายรูปแบบเทียบเท่ากัน เช่นเดียวกับกรณีของจำนวนจริง การนิยามเหล่านี้บางอย่างเหมือนสูตรต่าง ๆ ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง หากกล่าวโดยเฉพาะเจาะจง เรายังสามารถใช้นิยามอนุกรมกำลังซึ่งค่าจริงถูกแทนที่ด้วยค่าเชิงซ้อน
จากการใช้นิยามนี้ทำให้ง่ายต่อการแสดงว่า formula_15 ยังคงเป็นจริงบนระนาบเชิงซ้อน

neg:
ฟังก์ชันเครื่องหมาย
ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถอธิบายบนจำนวนเชิงซ้อน "z" ใดๆ ยกเว้น 0 ได้ดังนี้
ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นจุดจุดหนึ่งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่ใกล้กับ "z" มากที่สุดบนระนาบเชิงซ้อน นั่นคือ
โดยที่ arg "z" คืออาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนของ "z"
เนื่องจากเหตุผลของความสมมาตร และเพื่อรักษานัยทั่วไปที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายบนจำนวนจริง ดังนั้นบนจำนวนเชิงซ้อนก็มีการกำหนดให้ sgn 0 = 0 ด้วย

neg:
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์
การเขียนตัวเลขแบบมาตรฐาน "a" จะเลือกค่า "n" มาหนึ่งค่าที่ทำให้ค่าสัมบูรณ์ของ "a" มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 1 แต่ 10 (1 ≤ a < 10) นั่นคือ 350 จะสามารถเขียนได้เป็น 3.5 เพียงแบบเดียว รูปแบบนี้ช่วยให้สามารถเปรียบเทียบค่าระหว่างสองจำนวนใน "a" ที่เป็นบวกหรือลบเหมือนกัน และใช้เลขชี้กำลัง "n" เป็นตัวแทนของอันดับของขนาด (order of magnitude) ได้อย่างง่ายดาย ในสัญกรณ์แบบมาตรฐานนี้ เลขชี้กำลัง "n" จะมีค่าติดลบก็ต่อเมื่อจำนวนนั้นมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 (เช่น 0.5 เขียนแทนด้วย 5) ถ้าหากเลขชี้กำลังเป็น 0 มักจะไม่เขียนการคูณกับ

neg:
ฟังก์ชันกำเนิด
เนื่องจากพิกัดของระบบเก่าและโมเมนตัมของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

neg:
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต โดย "n" เป็นอนันต์ เนื่องจากลำดับของผลบวกย่อยไม่ลู่เข้าลิมิตจำกัดค่าหนึ่ง อนุกรมดังกล่าวจึงลู่ออก และไม่มีผลบวกในความหมายทั่วไป

neg:
การยกกำลัง
ไม่ว่าวิธีการใช้ลอการิทึมหรือเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็ไม่สามารถนิยาม "a" ให้เป็นจำนวนจริงได้ สำหรับ "a" ที่เป็นจำนวนจริงลบและทุกช่วงค่าของจำนวนจริง "r" และทำนองเดียวกัน "e" ให้ผลลัพธ์เป็นบวกสำหรับทุกช่วงค่าของจำนวนจริง "r" ดังนั้น ln ("a") ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันจึงไม่อาจนิยามให้เป็นจำนวนจริงได้สำหรับ "a" ≤ 0 (ในทางตรงข้าม กำลังเชิงซ้อนของจำนวนลบ "a" สามารถนิยามได้ด้วยลอการิทึมเชิงซ้อนของ "a")

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
นิยามอีกตัวอย่างหนึ่งเป็นการขยายแนวคิดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง ขั้นแรกระบุถึงสมบัติที่ต้องการ formula_16 ส่วนแรก "e" จะใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงตามปกติ ส่วนหลังใช้สูตรของออยเลอร์นิยาม formula_17 ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การนิยามที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

neg:
การยกกำลัง
การยกกำลังจำนวนจริงบวก ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม สามารถคำนวณได้สองวิธีนั่นคือ

neg:
การยกกำลัง
ถ้าหากฐานของการดำเนินการยกกำลังเป็นเซต การดำเนินการนั้นจะเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนเมื่อไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม เนื่องด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนต่าง ๆ ให้ผลเป็น "n" สิ่งอันดับ ("n"-tuple) ซึ่งสามารถแสดงแทนด้วยฟังก์ชันบนเซตที่มีภาวะเชิงการนับที่เหมาะสม ดังนั้น "S" จึงหมายถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก "N" ไปยัง "S" ในกรณีนี้
สิ่งนี้เข้ากันได้กับการยกกำลังของจำนวนเชิงการนับในแง่ที่ว่า |"S"| = |"S"| เมื่อ |"X"| หมายถึงภาวะเชิงการนับของ "X"; เมื่อ "2" ถูกนิยามเป็นเซต {0, 1} เราจะได้ |2| = 2 เมื่อ 2 ซึ่งโดยปกติแสดงด้วย P ("X") คือเซตกำลังของ "X"; เซตย่อย "Y" แต่ละเซตของ "X" สอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันบน "X" ที่ให้ค่า 1 สำหรับ "x" ∈ "Y" และค่า 0 สำหรับ "x" ∉ "Y"

neg:
ดัชนีเศรษฐกิจ
เป็นข้อมูลสะท้อนภาวะเศรษฐกิจในแต่ละช่วงเวลา ที่แสดงให้เห็นจุดสูงสุดและต่ำสุดของวัฏจักรในแต่ละรอบ ทั้งนี้ให้ดูอัตราการขยายตัวของดัชนี (six-month smoothed annualized growth rate) ของดัชนีฯ ถ้ามีค่าเป็นบวก มีความหมายว่า เศรษฐกิจขยายตัว แต่ถ้าอัตราการขยายตัวของดัชนีเป็นลบอย่างต่อเนื่องมีความหมายว่าเศรษฐกิจชะลอตัว
เป็นดัชนีการกระจาย (Diffusion Index) ซึ่งแสดงทิศทางของภาวะธุรกิจ (ดีขึ้น ไม่เปลี่ยนแปลง หรือเลวลง) ดัชนีจะมีค่าสูงสุดเท่ากับ 100 และต่ำสุด เท่ากับ 0
การอ่านค่าดัชนี ใช้ เส้นกึ่งกลาง หรือค่า 50 เป็นเกณฑ์ กล่าวคือ
ตัวอย่างเช่น

neg:
Immiserizing growth
Immiserizing growth
เศรษฐกิจที่เจริญเติบโตจะส่งผลในทางที่เลวร้าย กว่าก่อนเกิดการเจริญเติบโต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
ถ้าการเจริญเป็นการส่งออกเพียงอย่างเดียว จะเป็นหนทางที่นำไปสู่ ความตกต่ำในอัตราการค้าของประเทศที่ส่งออก
ในบางโอกาสที่พอเหมาะพอเจาะ ซึ่งดีที่มันจะเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก
การตกต่ำของอัตราการค้า อาจจะใหญ่ยิ่งกว่าผลได้จากการค้าเสียด้วยซ้ำ สถานการณ์แบบนี้ จะยิ่งทำให้ประเทศแย่ลงกว่าก่อนที่จะมีการเติบโต
ผลลัพธ์นี้เกิดขึ้นกับประเทศที่กำลังเจริญเติบโต ซึ่งความสามารถต่างๆ ขึ้นอยู่กับอิทธิพลราคาของโลก
Harry G. Johnson, ได้ทำความเข้าใจกับเงื่อนไขนี้ และผลลัพธ์เกี่ยวกับเรื่องนี้ในปี 1995 พบว่า มีความสัมพันธ์กันอย่างลึกซึ้งที่กระทบถึงกันอย่างดีระหว่าง
immeserizing growth กับ export of primary goods โดยเฉพาะอย่างยิ่งในประเทศกำลังพัฒนา

neg:
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
ฟังก์ชันที่เราใช้ส่วนมักจะเป็น ฟังก์ชันหลายตัวแปร ค่าที่ได้จะขึ้นอยู่กับปัจจัยต่างๆกัน
จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ตัวแปรทั้งหมดต้องแสดงอย่างชัดแจ้งเพื่อที่จะเกิดความสัมพันธ์แบบฟังก์ชัน - ไม่มีปัจจัย "ซ่อนเร้น" อยู่
และเช่นกัน จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่มีความแตกต่างเชิงคุณภาพระหว่างฟังก์ชันตัวแปรเดียวกับฟังก์ชันหลายตัวแปร
ฟังก์ชันสามตัวแปรจำนวนจริงนั้นก็คือฟังก์ชันของ "triple" (("x","y","z")) ของจำนวนจริง

neg:
อนุพันธ์
จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า "จุดเปลี่ยนเว้า" ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ ของฟังก์ชัน หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ ของฟังก์ชัน ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากฟังก์ชันเว้าไปเป็นฟังก์ชันนูนหรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า

neg:
การยกกำลัง
กำหนดให้ "a" เป็นจำนวนจริงบวก และ "z" เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ การยกกำลัง "a" นิยามโดย "e" เมื่อ "x" = ln ("a") เป็นคำตอบจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการ "e" = "a" ดังนั้นวิธีการเดียวกันที่ใช้กับเลขชี้กำลังจำนวนจริงก็ยังคงใช้ได้กับเลขชี้กำลังจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น

neg:
สัญกรณ์โอใหญ่
อัตราการเติบโตของฟังก์ชันใดๆ มีค่าเป็นสัญกรณ์โอใหญ่ของอีกฟังก์ชันหนึ่งแล้ว แสดงว่าอัตราการเติบโตของฟังก์ชันใดๆนั้นจะ"โตน้อยกว่าหรือเท่ากับ"อัตราการเติบโตของฟังก์ชันดังกล่าว ดังนั้นจึงอาจนิยามได้ว่า
อย่างไรก็ตาม นิยามนี้จำกัดเฉพาะกรณี formula_13 เท่านั้น ซึ่งไม่เพียงพอต่อการอธิบายในกรณีที่ formula_19 ดังนั้นจึงอาจใช้นิยามในอีกรูปแบบ ในการขยายไปถึงสัญกรณ์โอใหญ่กณิกนันต์ ซึ่งเป็นพิจารณาอัตราการเติบโตของฟังกชันรอบ ๆ จุด a ใด ๆ
นิยามทั้งสองรูปแบบสามารถขยายไปหลายตัวแปรได้
หรือในอีกนิยามที่พิจารณาอัตราการเติบโตของฟังก์ชันรอบๆพิกัด formula_31 ใดๆว่า

neg:
การยกกำลัง
การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป "a" ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ "ฐาน" "a" และ "เลขชี้กำลัง" (หรือ "กำลัง") "n" การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ "a" คูณกันเป็นจำนวน "n" ตัว เมื่อ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก
คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน

neg:
การแทนจำนวนมีเครื่องหมาย
การแทนจำนวนมีเครื่องหมาย () เป็นวิธีการแทนจำนวนที่อาจติดลบได้ในหน่วยความจำ เพื่อให้สะดวกต่อการนำมาดำเนินการต่าง ๆ และมีประสิทธิภาพ วิธีการโดยทั่วไปคือแบ่งพื้นที่ออกเป็นสองส่วน โดยในส่วนแรกนั้นจะเป็นส่วนที่เรียกว่า Magnitude หรือค่าขนาดของบิตตัวเลข มีตำแหน่งอยู่ที่สามนับจากขวา และส่วนที่สองจะเรียกว่า Signed Bit หรือค่าขนาดหนึ่งบิตแทนเครื่องหมายบวกหรือลบ หรือเรียกสั้นๆ ว่าบิตเครื่องหมาย โดยที่บิตเครื่องหมายนี้จะมีค่าเป็นบิตสูงสุด มีตำแหน่งอยู่หน้าสุด ดังนั้นในตัวเลขดิจิตอลหนึ่งตัวสามารถที่จะแทนได้ทั้งค่าบวก และค่าลบ ซึ่งถ้าบิตเครื่องหมายเป็น 0 ค่าของบิตสูงสุดจะมีค่าเป็นบวก แต่ถ้าบิตเครื่องหมายเป็น 1 ค่าของบิตสูงสุดจะมีค่าเป็นลบ ไม่ว่าบิตเครื่องหมายจะเป็น 0 หรือ 1 ก็ตามค่าขนาดของบิตจะเหมือนเดิม ดังตัวอย่างต่อไปนี้
จากตัวอย่างจะเป็นการแทนค่าตัวเลขดิจิตอลแบบ Sign-Magnitude System หลังจากที่ได้ดูตัวอย่างแล้วจะพบว่าความแตกต่างระหว่างบวกและลบ เช่น +12 และ -12 จะแตกต่างกันเพียงค่าของบิตเครื่องหมายเท่านั้น ส่วนค่าขนาดของบิตจะมีค่าเท่ากัน ถึงแม้ว่าระบบเลขดิจิตอลแบบนี้จะสามารถแทนค่าบวกและค่าลบได้ แต่ในการคำนวณของเครื่องคิดเลขจะไม่สามารถใช้คำนวณระบบนี้ได้

neg:
การยกกำลัง
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม สามารถนิยามขึ้นสำหรับโครงสร้างที่ค่อนข้างทั่วไปในพีชคณิตนามธรรม

neg:
ขั้นตอนวิธีของเฟรย์วัลส์
สมมุติว่าต้องการทำขั้นตอนวิธีนี้ซ้ำกัน formula_32 ครั้ง พบว่าความน่าจะเป็นในการตอบผิดมีค่า ≤ formula_33 ซึ่งมีค่าลดลงเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อเทียบกับค่า formula_32

neg:
การก้าวหน้าเลขคณิต
โดยที่สัญลักษณ์ formula_10 หมายถึงผลคูณลำดับเพิ่ม (rising sequential product) และ formula_11 แทนฟังก์ชันแกมมา อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
จากนิยามใด ๆ เหล่านี้สามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นไปตามเอกลักษณ์การยกกำลังพื้นฐาน

neg:
การก้าวหน้าเลขคณิต
ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ "a" และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ "d" ดังนั้นพจน์ที่ "n" ของลำดับนี้คือ
หรือในกรณีทั่วไป จะได้
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

neg:
การยกกำลัง
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด "a" = "a"·"a" โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น "a" = "a"

neg:
การหาค่าเหมาะที่สุดแบบเฟ้นสุ่ม
จากสมการ ถ้า F (°) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x *
เห็นได้ชัดว่าหากมีความรู้ด้านการกระจายความน่าจะเป็นของความต้องการ D แล้วจะได้รูปสมการที่ง่ายขึ้น ซึ่งคล้ายกับ CDF ของ F (°) จะไม่สามารถประมาณค่าที่ดีที่สุดได้ แต่จะเป็นการแก้ปัญหาที่ดีที่สุด
ค่าอื่นๆที่ได้จากการแก้ปัญหาสมการที่ (4) ผู้จัดการฝ่ายพยายามที่จะหากำไรที่ดีที่สุดจากค่าเฉลี่ย อย่างไรก็ตามเมื่อคิดถึงผลกำไร G (x *, D) อาจจะแตกต่างจาก g (x *) ขึ้นอยู่กับส่วนที่เราสนใจของความต้องการ D กรณีนี้อาจเกิดขึ้นถ้า G (x *, D) ถูกมองว่าเป็นตัวแปรสุ่ม จะมีความแปรปรวนขนาดใหญ่ซึ่งอาจจะวัดได้จาก Var [G (x *, D)] ดังนั้นหากผู้จัดการต้องการที่จะควบคุมความแปรปรวน เขาจะต้องพิจารณาปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพดังต่อไปนี้

neg:
กราฟแสดงการเจริญเติบโต
ใน สถิติเชิงคณิตศาสตร์ กราฟแสดงการเจริญเติบโตมักใช้เป็นแบบจำลองสำหรับ continuous stochastic process เช่น sample paths ซึ่งใช้แก้สมการ stochastic differential equation

neg:
ตะแกรงกำลังสอง
จากดังกล่าวชัดเจนว่าเมื่อตัวเลขในเวกเตอร์ชี้กำลังของจำนวนๆหนึ่งนั้นเป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมดนั่นคือจะได้ว่าจำนวนดังกล่าวสามารถเขียนได้อยู่ในรูปของกำลังสมบูรณ์ของจำนวนเต็ม ยกตัวอย่างเช่นเมื่อเรานำเวกเตอร์ (3,0,0,1) มาบวกกับเวกเตอร์ (1,2,0,1) ได้เป็นเวกเตอร์ (4,2,0,2) ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด โดยจะมีค่าเป็น (56) (126) ซึ่งเป็นค่ายกกำลังสองของจำนวนเต็ม นั่นคือการที่จะพิจารณาว่าผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มรึเปล่านั้นสามารถพิจารณาได้ง่ายจากการพิจารณาความเป็นคู่/คี่ของเวกเตอร์ชี้กำลัง ซึ่งเราสามารถนำสมาชิกในแต่ละตัวของเวกเตอร์ชี้กำลังมาหารด้วยสองแล้วเปลี่ยนค่าสมาชิกก่อนที่จะนำเวกเตอร์ดังกล่าวมาบวก ซึ่งเมื่อพิจารณาจากผลลัพธ์ของการบวกเวกเตอร์ ในรูปแบบดังกล่าว แล้วนำเวกเตอร์ผลลัพธ์มาทำในทำนองเดียวกันจะพบว่าจะอยู่ในรูปกำลังสองสัมบูรณ์เมื่อเป็นเวกเตอร์ศูนย์นั่นเองตัวอย่างเช่นจากตัวอย่างที่แล้วเราสามารถทำได้ในรูปแบบดังกล่าวและบวกกันได้เป็น (1,0,0,1) + (1,0,0,1) = (0,0,0,0) ซึ่งในการบวก vector นั้นเราเพียงพอที่จะทำได้ง่ายโดยการนำมาทำการ XOR กันแบบบิตต่อบิตที่ดัชนีตรงกัน

neg:
การเคลื่อนลงตามความชัน
โดยค่า 𝛼 คือค่าการลู่เข้า ยิ่งมีค่ามากจะยิ่งลู่เข้าเร็ว แต่ถ้ามากเกินไป การอัพเดทครั้งถัดไปจะทำให้ค่า formula_4 มีค่ามากเกินไปจนลู่ออกไปถึงอนันต์ก็ได้

neg:
เครื่องหมายบวกและลบ
ในคณิตศาสตร์และภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ กฎลำดับการดำเนินการหมายความว่า −5 เท่ากับ −25 เลขชี้กำลังมีความสำคัญมากกว่าตัวดำเนินการลบแบบเอกภาค ที่สำคัญกว่าการคูณหรือการหาร อย่างไรก็ตามในภาษาโปรแกรมบางภาษาและไมโครซอฟท์ เอกซ์เซล ตัวดำเนินการเอกภาคสำคัญที่สุด ดังนั้น −5^2 คือ 25 แต่ 0−5^2 คือ −25

neg:
ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป

neg:
สัมประสิทธิ์ของการขยายตัวจากความร้อน
ระลึกไว้ว่าสมการนี้ยังมีเทอมหลัก formula_13 อยู่ แต่ยังแสดงเทอมอันตับสองที่มีค่าเป็น formula_14 ซึ่งแสดงให้เห็นว่า การเปลี่ยนแปลงอย่างมากในอุณหภูมิสามารถข่มค่าเล็ก ๆ สำหรับสัมประสิทธิ์ของการขยายตัวจากความร้อนเชิงเส้น ถึงแม้ว่าสัมประสิทธิ์ของการขยายตัวจากความร้อนเชิงเส้นจะเล็กทีเดียว แต่เมื่อรวมกับการเปลี่ยนแปลงขนาดใหญ่ของอุณหภูมิ differential change ของความยาวสามารถโตพอจนต้องพิจารณา เทอมสุดท้าย formula_15 นั้นเล็กจนหายวับ และเกือบจะโยนทิ้ง
ในวัสดุแบบ anisotropic การขยายตัวเชิงปริมาตรลัพธ์จะกระจายตัวไปในสม่ำเสมอตามแกนทั้งสาม

neg:
ฟังก์ชันกำเนิด
เนื่องจากพิกัดระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

neg:
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
เป็นฟังก์ชันที่นำตัวเลข "x" และ "y" มาหาผลคูณ ดูเหมือนว่านี่ไม่ใช่ฟังก์ชันจริงๆดังที่เราได้อธิบายข้างต้น เพราะว่า "กฎ" ขึ้นอยู่กับสิ่งนำเข้า 2 สิ่ง อย่างไรก็ตาม ถ้าเราคิดว่าสิ่งนำเข้า 2 สิ่งนี้เป็น คู่อันดับ formula_3 1 คู่ เราก็จะสามารถแปลได้ว่า "g" เป็นฟังก์ชัน โดยที่อาร์กิวเมนต์คือคู่อันดับ formula_3 และค่าของฟังก์ชันคือ formula_5

neg:
ฟังก์ชันต่อเนื่อง
ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันต่อเนื่อง () คือฟังก์ชันที่ถ้าตัวแปรต้นมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อย ผลลัพธ์ก็จะมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยด้วยเช่นกัน เราเรียกฟังก์ชันที่การเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยของค่าของตัวแปรต้นทำให้เกิดการก้าวกระโดดของผลลัพธ์ของฟังก์ชันว่า ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง (discontinuous function)

neg:
ฟังก์ชันบ่งชี้
ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อย "A" ของเซต "X" คือฟังก์ชัน
นิยามโดย

neg:
การแปลงฟูรีเยช่วงเวลาสั้น
ในการแปลงแบบเวลาต่อเนื่อง ฟังก์ชันที่จะทำการแปลงจะถูกคูณด้วยฟังก์ชันหน้าต่าง หรือ วินโดว์ฟังก์ชัน ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีค่าไม่เป็นศูนย์ในช่วงเวลาสั้น ๆ เท่านั้น ผลการแปลงฟูรีเย (1 มิติ) ของผลคูณนี้ ซึ่งเสมือนการเลื่อนหน้าต่างไปตามแกนเวลา จะได้ผลลัพธ์เป็นสัญญาณ 2 มิติ แสดงในรูปคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้ :

neg:
ภาษาซี
ภาษาซีรองรับการใช้งานตัวชี้ (pointer) ซึ่งเป็นชนิดข้อมูลสำหรับ[[การอ้างอิง (วิทยาการคอมพิวเตอร์)|การอ้างอิง]]อย่างง่ายชนิดหนึ่ง ที่เก็บบันทึกที่อยู่หรือตำแหน่งของวัตถุหรือฟังก์ชันในหน่วยความจำ ตัวชี้สามารถ "อ้างอิงกลับ" (dereference) เพื่อเข้าถึงข้อมูลที่บันทึกในตำแหน่งที่ถูกชี้อยู่ หรือเพื่อเรียกใช้ฟังก์ชันที่ถูกชี้อยู่ ตัวชี้สามารถจัดดำเนินการกำหนดค่าและ[[เลขคณิตของตัวชี้]]ได้ด้วย ค่าของตัวชี้ขณะโปรแกรมทำงาน มักจะเป็นตำแหน่งมูลฐานในหน่วยความจำ (ซึ่งอาจเสริมด้วยค่าออฟเซตในหน่วยเวิร์ด) แต่เนื่องจากตัวชี้มีการระบุชนิดตามข้อมูลที่ชี้ไป ตัวแปลโปรแกรมจึงสามารถตรวจสอบชนิดตัวแปรในนิพจน์ต่าง ๆ รวมทั้งตัวชี้ด้วยกันเองขณะแปลได้ เลขคณิตของตัวชี้จะแปรสัดส่วนของขนาดโดยอัตโนมัติตามชนิดข้อมูลที่ชี้ไป (ดูเพิ่มที่ส่วน[[#ความใช้แทนกันได้ระหว่างตัวชี้และแถวลำดับ|ความใช้แทนกันได้ระหว่างตัวชี้และแถวลำดับ]]) จุดประสงค์ของการใช้ตัวชี้มีหลากหลายในภาษาซีเช่น สายอักขระมักจัดดำเนินการโดยใช้ตัวชี้ไปยังแถวลำดับของตัวอักขระ [[การจัดสรรหน่วยความจำพลวัต]] (dynamic memory allocation) สามารถกระทำได้ด้วยตัวชี้ ชนิดข้อมูลชนิดอื่นเช่น [[ต้นไม้ (โครงสร้างข้อมูล)|ต้นไม้]] ปกติจะถูกพัฒนาขึ้นโดยการจัดสรรวัตถุ codice_19 โดยพลวัต ซึ่งเชื่อมโยงแต่ละหน่วยเข้ากันด้วยตัวชี้ ตัวชี้ของฟังก์ชันใช้เพื่อ[[การเรียกกลับ]] (callback) สำหรับชุดคำสั่งจัดการเหตุการณ์ เป็นต้น

neg:
ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
ฟังก์ชันนั้นเรียกชื่อตามเรนจ์ของมัน เช่น ฟังก์ชันจำนวนจริง หรือ ฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน

neg:
การก้าวหน้าเรขาคณิต
ส่วนเลขชี้กำลังของ "r" ที่มีแต่จำนวนคี่
จะได้สูตร

neg:
การยกกำลัง
ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เลขยกกำลังของ 0 จะได้ 0 นั่นคือ 0 = 0; "n" > 0

neg:
ฟังก์ชันกำเนิด
เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

neg:
บิตเครื่องหมาย
เมื่อบวกจำนวน 8 บิตเข้ากับจำนวน 16 บิตโดยใช้เลขคณิตมีเครื่องหมาย หน่วยประมวลผลกลางจะถ่ายทอดบิตเครื่องหมายผ่านครึ่งอันดับสูงของเรจิสเตอร์ 16 บิตที่เก็บจำนวน 8 บิตอยู่นั้น กระบวนการดังกล่าวเรียกว่าการขยายเครื่องหมาย (sign extension) หรือการถ่ายทอดเครื่องหมาย (sign propagation) กระบวนการขยายเครื่องหมายจะนำมาใช้ เมื่อใดก็ตามที่ชนิดข้อมูลมีเครื่องหมายที่เล็กกว่าจำเป็นต้องแปลงเป็นชนิดข้อมูลมีเครื่องหมายที่ใหญ่กว่า ในขณะที่ยังคงค่าตัวเลขเดิมเอาไว้

neg:
การยกกำลัง
อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็ใช้สัญกรณ์พิเศษเช่นนั้นด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ กล่าวคือ เลขชี้กำลังที่เป็นบวกถูกวางไว้หลังชื่อย่อของฟังก์ชัน หมายถึงผลลัพธ์ของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังนั้น ในขณะที่เลขชี้กำลัง −1 แสดงถึงฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างเช่น sin"x" เป็นการเขียนอย่างย่อแทน (sin "x") โดยไม่ใช้วงเล็บ แต่ในขณะเดียวกัน sin"x" หมายถึงฟังก์ชันผกผันของไซน์คือ arcsin "x" เพราะมันไม่จำเป็นต้องมีส่วนกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติเนื่องจากมันมีชื่อและชื่อย่อของมันเองอยู่แล้ว เช่น 1/ (sin "x") = (sin "x") ก็คือ csc "x" เป็นต้น สัญนิยมที่คล้ายกันนี้ก็ใช้กับลอการิทึมด้วย เช่น log"x" หมายถึง (log "x") ไม่ใช่ log log "x"

neg:
การแจกแจงแบบทวินาม
ตัวแปรเชิงสุ่ม X แทนจำนวนครั้งของความสำเร็จจากการทดลองแบบเบอร์นูลีซ้ำๆกัน n ครั้ง ภายใต้สภาวะเดียวกันและการทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน การทดลองแต่ละครั้งต้องแบ่งผลลัพธ์ออกได้ 2 ทาง คือความสำเร็จและความไม่สำเร็จ โดย p คือความน่าจะเป็นที่เกิดความสำเร็จ X จะมีการแจกแจงแบบทวินาม ซึ่งฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น ดังนี้
และมีค่าคาดหวังและค่าความแปรปรวนดังนี้
ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสะสมคือ

neg:
การยกกำลัง
ถ้า "b" เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นค่าของ "a" จะไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของ log "a" เพราะสอดคล้องกับนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e" สามารถอธิบายลักษณะเฉพาะได้เทียบเท่ากันหลายวิธีการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจนิยามด้วยอนุกรมกำลังต่อไปนี้
การใช้นิยามวิธีอื่นของฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็จะให้ผลลัพธ์เหมือนกันเมื่อขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
อนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตัวมันเอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงได้สัดส่วนกับฟังก์ชันตัวเอง (แทนที่จะหมายถึงเท่ากับตัวเอง) สามารถแสดงได้ในรูปแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมบัติของฟังก์ชันข้อนี้นำไปสู่การอธิบายการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง

neg:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
กราฟของฟังก์ชัน "y" = "e" มีลักษณะตั้งชันขึ้นและมีอัตราเพิ่มค่าเร็วยิ่งขึ้นเมื่อ "x" เพิ่มขึ้น กราฟจะวางตัวอยู่เหนือแกน "x" เสมอ แต่เมื่อ "x" เป็นลบกราฟจะลู่เข้าแกน "x" ดังนั้นแกน "x" จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอน (horizontal asymptote) เส้นหนึ่งของกราฟนี้ ความชันของกราฟแต่ละจุดมีค่าเท่ากับพิกัด "y" ของจุดนั้น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ ln("x") ด้วยเหตุนี้ตำราบางเล่มจึงอ้างถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังว่าเป็น "แอนติลอการิทึม" (antilogarithm)