As escolas serão atualizadas conforme o resto do mapa é atualizado. Como você é um mapeador bastante ativo achei importante você conhecer o padrão aprovado para ir, pelo menos, adicionando novas escolas já novo padrão.

A diferença entre operador público e governamental não é muito clara no OSM mesmo: https://wiki.openstreetmap.org/wiki/Key:operator:type. Pessoalmente, eu tenho mapeado escolas com operator:type=government, o que vai ao encontro da sugestão do iD.

Dito isto, qual a diferença para você entre órgão de governo e órgão público?

O OSM tem diversos usos. No site padrão (osm.org), o mecanismo de busca é o Nominatim que ainda não encontra resultados ao buscar por ref:INEP=*. Porém, é possível usar o Overpass para encontrar um código específico ou, por exemplo, encontrar todos os estabelecimentos educacionais (que já tenham o dado, claro) com a consulta https://overpass-turbo.eu/s/1tCC.

É interessante ver a proposta da padronização para entender o seu motivo: https://wiki.openstreetmap.org/w/index.php?oldid=2154117

No mais, alterações no padrão são possíveis, desde que submetidas ao rito adequado.